Linii importante in triunghi

În această lecție vom învăța despre linii importante in triunghi. Acestea sunt bisectoarele unghiurilor, mediatoarele laturilor, înălțimile și medianele. Vom discuta pe rând despre fiecare, iar la final vom rezolva câteva probleme (vezi lecția VIDEO de la finalul articolului).

1. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi

Bisectoarea unui unghi este o semidreaptă situată în interiorul unghiului, cu originea în vârful unghiului și care formează cu laturile acestuia două unghiuri congruente.

Cu alte cuvinte, bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri cu măsurile egale. (Vezi și lecția Bisectoarea unui unghi.)

Proprietatea punctelor situate pe bisectoarea unui unghi

Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.

Are loc și reciproca acestei proprietăți:

Dacă un punct este egal depărtat de laturile unui unghi, atunci el este situat pe bisectoarea unghiului.

Dar ce înseamnă că un punct este egal depărtat de laturile unghiului? Înseamnă că distanțele de la acel punct la laturile unghiului sunt egale, prin distanță înțelegând perpendiculara din punctul respectiv pe laturile unghiului. În figura de mai jos, OS este bisectoarea unghiului AOB, iar M este un punct oarecare, situat pe această bisectoare. Ducem din M două perpendiculare: MN⊥OA și MP⊥OB. Prin urmare, d(M,OA)=MN și d(M,OB)=MP. Atunci, conform proprietății de mai sus, avem că MN=MP.

Dacă OS este bisectoarea ∡AOB, M∈OS, MN⊥OA și MP⊥OB ⟹ MN=MP.

Concurența bisectoarelor unui triunghi

Într-un triunghi putem construi trei bisectoare (pentru că un triunghi are trei unghiuri). Aceste bisectoare sunt concurente (se intersectează) într-un punct numit centrul cercului înscris în triunghi și care se notează de obicei cu I. Punctul I este egal depărtat de laturile triunghiului.

AM, BN și CP sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC

2. Mediatoarele laturilor unui triunghi

Mediatoarea unui segment este perpendiculara ridicată din mijlocul segmentului.

În figura de mai jos, M este mijlocul segmentului AB, DM⊥AB, prin urmare DM este mediatoarea segmentului AB. (Vezi și lecția Mediatoarea unui segment.)

Proprietatea punctelor situate pe mediatoarea unui segment

Orice punct situat pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului.

Este valabilă și reciproca acestei proprietăți:

Dacă un punct este egal depărtat de capetele unui segment, atunci el aparține mediatoarei segmentului.

În figura de mai jos, dreapta d este mediatoarea segmentului AB, iar P este un punct oarecare situat pe aceasta. Atunci distanța de la punctul P la A este egală cu distanța de la P la B: d(P,A)=d(P,B).

d– mediatoarea segmentului AB, P∈d ⟹ PA=PB.

Concurența mediatoarelor laturilor unui triunghi

Într-un triunghi putem construi trei mediatoare, pentru că sunt trei laturi. Cele trei mediatoare sunt concurente (se intersectează) într-un punct numit centrul cercului circumscris triunghiului și se notează de obicei cu O. Cercul circumscris unui triunghi este cercul care trece prin vârfurile triunghiului. Punctul O este egal depărtat de vârfurile triunghiului, prin urmare raza cercului este R=OA=OB=OC.

OM, ON și OP sunt mediatoarele laturilor triunghiului ABC

Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, atunci centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei, iar dacă triunghiul este obtuzunghic, centrul cercului circumscris este situat în exteriorul triunghiului.

3. Înălțimile unui triunghi

Înălțimea unui triunghi este perpendiculara dusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă.

AM⊥BC ⟹ AM înălțime

Mai putem spune că AM este înălțimea corespunzătoare laturii BC, iar latura BC se numește bază. Noțiunea de înălțime a unui triunghi este foarte importantă în geometria plană, deoarece cu ajutorul ei vom defini aria triunghiului.

Concurența înălțimilor unui triunghi

Într-un triunghi putem construi trei înălțimi. Acestea sunt concurente (se intersectează) într-un punct numit ortocentrul triunghiului și se notează de obicei cu H.

AM, BN și CP sunt înălțimi în triunghiul ABC

În cazul în care triunghiul este dreptunghic, atunci două dintre înălțimi vor coincide cu catetele, iar în cazul acesta, ortocentrul va fi vârful drept al triunghiului.

Dacă triunghiul este obtuzunghic, atunci ortocentrul va fi situat în exteriorul triunghiului.

4. Medianele unui triunghi

Mediana este segmentul care unește un vârf al unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.

M- mijlocul segmentului BC ⟹ AM- mediană în triunghiul ABC

Mediana unui triunghi are o proprietate importantă:

Orice mediană împarte triunghiul în două triunghiuri cu ariile egale: A_ABM=A_AMC. Aceste triunghiuri se numesc triunghiuri echivalente.

Concurența medianelor unui triunghi

Într-un triunghi putem construi trei mediane. Acestea sunt concurente într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului și care se notează cu G. Acest punct este situat pe fiecare mediană, la două treimi de vârf și o treime de bază.

AM, BN și CP sunt mediane în triunghiul ABC

În continuare vă invit să vizionați acest video pentru a înțelege mai bine cum construim liniile importante în triunghi. În clip am prezentat și câteva probleme rezolvate cu linii importante. Articolul se continuă mai jos cu alte probleme rezolvate.

Probleme rezolvate cu linii importante in triunghi

Problema 1

Doi frați vor să împartă o felie de pizza triunghiulară. Cum trebuie tăiată pizza pentru a fi împărțită în mod egal?

Rezolvare:

Fixăm mijlocul unei “laturi” a triunghiului și apoi tăiem pizza pe linia mediană, pentru că mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu ariile egale.

Problema 2

Fie triunghiul ABC și AM mediană (M aparține laturii BC). Știind că aria triunghiului ABM este egală cu 24 cm² , aflați aria triunghiului ABC.

Rezolvare:

Urmărim figura de mai sus. Dacă AM este mediană, aceasta împarte triunghiul ABC în două triunghiuri cu ariile egale.
A_ABM = A_AMC
A_ABC = A_ABM + A_AMC =2 x A_ABM
A_ABC = 2 x 24 = 48cm².