Proiecții ortogonale pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă și un plan

În această lecție vom discuta despre proiectii ortogonale pe plan și unghiul unei drepte cu un plan.

Proiectii ortogonale pe plan

1. Proiecția unui punct pe un plan

Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan. În figura de mai jos, AM este perpendiculară pe planul alfa și atunci proiecția punctului A pe plan este punctul M. Vom nota astfel:

pr _α A=M

Dacă punctul A aparține planului, atunci proiecția acestui punct pe plan este chiar punctul A.

2. Proiecția unei drepte pe un plan

Fie dreapta AB din figura de mai jos care intersectează planul alfa în punctul O. Construim proiecțiile punctelor A și B pe planul alfa și le notăm cu A’ și B’. Unind punctele A’ și B’, obținem o dreaptă care este inclusă în plan. Dreapta A’B’ este proiecția dreptei AB pe planul alfa și scriem astfel:

pr _α AB=A’B’

Dacă dreapta AB este perpendiculară pe plan, atunci proiecția sa este un punct (punctul de intersecție dintre dreaptă și plan).

Unghiul unei drepte cu un plan

Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.
În figura de mai sus, unghiul dintre dreapta AB și planul alfa este unghiul dintre dreptele AB și A’B’, adică unghiul BOB’.

∡ (AB,α) = ∡(AB, A’B’) = ∡BOB’.

• Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, atunci unghiul dintre dreaptă și plan are măsura egală cu 90°.
• Dacă dreapta este paralelă cu planul, atunci unghiul dintre dreaptă și plan este de 0°.

Pentru a înțelege mai bine aceste noțiuni, vă invit să urmăriți lecția video de mai jos. Sunt prezentate probleme rezolvate cu proiectii ortogonale pe plan si unghiul unei drepte cu un plan.

Vezi și lecția Teorema celor trei perpendiculare, calculul distanțelor în spațiu.