Cercul este o figură geometrică foarte importantă în geometria plană, iar în această lecție vom completa noțiunile despre cerc învățate în clasa a VI-a. (Pentru recapitularea noțiunilor studiate în casa a VI-a, click aici.)

Unghi înscris în cerc

Un unghi cu vârful pe cerc și care are ca laturi două coarde ale cercului se numește unghi înscris în cerc.

În figura de mai jos, unghiul AMB este unghi înscris în cerc.

Unghiul AMB este înscris în cerc

Important: Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului de cerc cuprins între laturile sale.

\widehat {AMB}= \frac{ \stackrel \frown {AB}}{2}

Consecință:

Un unghi înscris într-un semicerc este unghi drept (pentru că un semicerc are 180 de grade, iar 180o:2=90o).

Proprietăți referitoare la arce și coarde în cerc

1. Într-un cerc, două coarde paralele determină două arce congruente.

AB \parallel CD \Rightarrow \stackrel \frown {AC} \equiv \stackrel \frown {BD}
cercul coarde paralele

2. Într-un cerc, la arce congruente corespund coarde congruente.

\stackrel \frown {AB} \equiv \stackrel \frown {CD} \Rightarrow AB \equiv CD.
cercul arce congruente coarde congruente

3. Într-un cerc, la coarde congruente corespund arce congruente.

AB \equiv CD  \Rightarrow  \stackrel \frown {AB} \equiv \stackrel \frown {CD}

4. (Proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă). Un diametru perpendicular pe o coardă va trece prin mijlocul acesteia și prin mijlocul arcului determinat de coardă.

În figura de mai jos, MN este diametrul perpendicular pe coarda AB. Atunci el trece prin punctul P, mijlocul coardei AB, iar punctul N va fi mijlocul arcului mic AB.

cercul diametru perpendicular pe coarda

Tangente dintr-un punct exterior la un cerc

Tangenta la cerc este o dreaptă care intersectează cercul într-un punct. Ea are o proprietate importantă:

Tangenta la cerc este perpendiculară pe rază în punctul de tangență.

În figura de mai jos, dreapta a este tangentă cercului, iar M este punctul de tangență. Atunci:

OM \perp a
tangenta la cerc

Teorema „ciocului de cioară„. Fie A un punct exterior unui cerc. Dacă AM și AP sunt tangentele duse din A, atunci segmente AM și AP sunt congruente.

AM, AP \quad tangente \Rightarrow AM \equiv AP
tangente dintr-un punct exterior la cerc teorema cioc de cioara

Lungimea cercului și aria cercului (discului)

Lungimea unui cerc se calculează folosind formula:

L=2\pi r.

unde r este raza cercului, iar π (pi) este un număr irațional, având o valoare aproximativ egală cu 3,14. Constanta π este prin definiție, raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său.

Aria cercului se calculează folosind formula:

A=\pi r^2.

În lecția video de mai jos am prezentat toate aceste noțiuni, însoțite de exemple, precum și noțiunile recapitulative din materia clasei a VI-a. Lecția se continuă mai jos cu probleme rezolvate cu cerc.

Probleme rezolvate cu cercul

1. În figura de mai jos, arcul mic AB are măsura egală cu 106 grade. Aflați măsura unghiului AMB.

Rezolvare:

2. Pe cercul de centru O și rază r = 18 cm, se consideră punctele M și N astfel încât măsura unghiului MON este de 60 de grade. Aflați lungimea coardei MN.

Rezolvare:

cercul raze in cerc

Dacă OM=ON=r=18 cm, atunci triunghiul MON este isoscel. În acest triunghi, unghiul MON are măsura de 60 de grade, prin urmare triunghiul este echilateral și MN=OM=ON=18 cm.

3. Pe cercul de centru O și rază r=12 cm, se consideră punctele A și B astfel încât măsura unghiului AOB să fie egală cu 120 de grade. Fie MN un diametru perpendicular pe coarda AB și fie P punctul de intersecție dintre diametrul MN și coarda AB. Aflați lungimea segmentelor OP și AB.

Rezolvare:

cercul diametru perpendicular pe coarda

Dacă OA=OB=r=12 ⟹ triunghiul AOB isoscel și OP este înălțime, mediană și bisectoare.

În triunghiul dreptunghic AOP, cateta OP este opusă unghiului de 30 de grade, prin urmare ea va fi jumătate din ipotenuză: OP=AO:2=12:2=6 cm.

Pentru a afla AP, aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AOP:

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.