În această lecție vom discuta despre media aritmetica și media geometrica, respectiv media aritmetică ponderată. O să vedem care sunt formulele de calcul și vom rezolva exerciții în care vom aplica aceste formule.

1. Media aritmetică a două sau mai multe numere

Media aritmetică a două numere a și b este egală cu suma celor două numere, împărțită la doi:

m_a=\frac{a+b}{2}

Media aritmetică a n numere este suma numerelor împărțită la numărul lor:

m_a=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

Exerciții rezolvate cu media aritmetică

Exercițiul 1

Calculați media aritmetică a numerelor: 14, 21 și 37.

Rezolvare:

media aritmetica a trei numere

Exercițiul 2

Calculați media aritmetică a numerelor:

media aritmetica a trei numere

Rezolvare:

Exercițiul 3

La un concurs de informatică, elevii trebuie să susțină patru probe. Mihai a obținut la primele trei probe 6 puncte, 8 puncte și 9 puncte. Câte puncte ar trebui să primească la ultima probă, pentru a avea o medie de 8 puncte?

Rezolvare:

media aritmetica

2. Media aritmetică ponderată

Media aritmetică ponderată a n numere

având ponderile

se calculează folosind formula:

media aritmetica ponderata

Exerciții rezolvate cu media ponderata

Exercițiul 1

Un elev a cumpărat 3 caiete cu prețul de 5 lei/buc, 8 caiete cu prețul de 7 lei/buc și 9 caiete cu prețul de 8 lei/buc. Cât a plătit în medie pe un caiet?

Rezolvare:

Prin pondere înțelegem numărul de obiecte care au aceeași valoare/preț. Așadar, trebuie să calculăm media numerelor 5, 7 și 8 cu ponderile 3, 8 și 9.

media aritmetica ponderata exercitii

Pe un caiet a plătit în medie 7,15 lei.

3. Media geometrica a două numere reale

Media geometrică sau media proporțională a două numere pozitive a și b este radical din produsul lor:

m_{g}= \sqrt{a \cdot b} \quad (a,b \geq0)

Exerciții rezolvate cu media geometrică

Exercițiul 1

Calculați media geometrică a numerelor 4 și 9.

Rezolvare:

Exercițiul 2

Calculați media geometrică a numerelor:

\sqrt{48} \quad și \quad \sqrt{12}.

Rezolvare:

m_g=\sqrt{\sqrt{48}\cdot\sqrt{12}}=\sqrt{4\sqrt3\cdot2\sqrt3}=
=\sqrt{8\cdot3}=\sqrt8\cdot\sqrt3=2\sqrt2\cdot\sqrt3=2\sqrt6

Exercițiul 3

Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor:

Rezolvare:

În calculul mediei geometrice am folosit formula de calcul prescurtat:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Exercițiul 4 (extindere)

Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor:

Rezolvare:

Încercăm să aducem numărul y la o formă asemănătoare cu x. Vom rescrie numărul de sub radicalul mare astfel:

Am folosit formula de calcul prescurtat:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Așadar, numărul y va fi egal cu:

deoarece valoarea din modul e negativă:

Acum calculăm media aritmetică a celor două numere:

În continuare vom calcula media geometrică a numerelor x și y.

4. Inegalitatea mediilor

Dacă a și b sunt două numere reale pozitive, atunci are loc următoarea inegalitate:

a\leq m_g \leq m_a \leq b

Vezi și lecția Formule de calcul prescurat.

Test online Media aritmetica și media geometrica

Încearcă să rezolvi acest test cu zece întrebări a câte un punct fiecare. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!

Ești pregătit? Să începem!


Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.