Triunghiul: elemente, clasificarea triunghiurilor și proprietăți

În această lecție vom învăța o figură geometrică foarte importantă: triunghiul și proprietățile unui triunghi. Vom vedea și cum se clasifică triunghiurile în funcție de laturi și unghiuri.

Triunghiul este o figură plană închisă, formată din trei laturi și trei vârfuri. Cele trei laturi ale unui triunghi sunt segmente, iar vârfurile sunt punctele de intersecție ale laturilor.

Vârfurile unui triunghi se notează cu litere mari: A, B, C, M, N, … iar triunghiul se notează ținând cont de cele trei vârfuri.

În figura de mai jos avem triunghiul ABC, pe care îl putem nota astfel: ∆ABC.

Cele trei laturi ale triunghiului sunt segmentele AB, BC și AC, care se pot nota și cu litere mici, ținându-se seama de vârful opus. Astfel, latura AB se opune vârfului C și aceasta se va nota cu litera c. Latura BC se opune vârfului A și o vom nota cu a, iar latura AC se opune vârfului B și o vom nota cu b.

Fiecare pereche de laturi ale triunghiului formează un unghi interior, prin urmare un triunghi are trei unghiuri interioare. Cele trei unghiuri ale triunghiului ABC sunt: ∡ABC (sau mai simplu ∡B), ∡BAC (sau ∡A), ∡ACB (sau ∡C).

Perimetrul unui triunghi

Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor. Dacă notăm laturile triunghiului ABC cu a, b și c, atunci perimetrul triunghiului ABC este:

P = a+b+c.

Semiperimetrul triunghiului este jumătate din perimetru:

s = P/2 = (a+b+c) : 2.

Clasificarea triunghiurilor

1. Clasificarea triunghiurilor în funcție de laturi

În funcție de lungimile laturilor, triunghiurile pot fi:

• triunghi oarecare (scalen) – are laturile de lungimi diferite;
• triunghi isoscel – are două laturi congruente; cea de-a treia latură se numește bază;
• triunghi echilateral – are toate cele trei laturi congruente.

Triunghiul ABC este oarecare.
Triunghiul MNP este isoscel: MN=MP.
Triunghiul DEF este echilateral: DE=EF=DF.

Important! Perimetrul unui triunghi echilateral cu latura l este:

P = 3l.

2. Clasificarea triunghiurilor în funcție de unghiuri

În funcție de măsurile unghiurilor, triunghiurile pot fi:

• triunghi dreptunghic – are un unghi drept (de 90 grade); laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză;
• triunghi ascuțitunghic – are toate unghiurile ascuțite (mai mici de 90 grade);
• triunghi obtuzunghic – are un unghi obtuz (mai mare de 90 grade).

Triunghiul ABC este dreptunghic pentru că unghiul A este drept.
Catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC.
Triunghiul PQR este ascuțitunghic pentru că are toate unghiurile ascuțite.
Triunghiul TUV este obtuzunghic pentru că unghiul T este obtuz.

Proprietățile triunghiurilor

O primă proprietate se referă la suma unghiurilor unui triunghi:

P1. În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este de 180°.

∡A+∡B+∡C = 180 °

A doua proprietate se referă la unghiul exterior unui triunghi. Dar să vedem mai întâi ce este un unghi exterior.

Un unghi exterior unui triunghi este unghiul format de o latură a triunghiului cu prelungirea altei laturi. În figura de mai jos, unghiul ACD este exterior triunghiului ABC.

Un triunghi are șase unghiuri exterioare. Fiecare unghi exterior este suplementul unghiului interior alăturat.

Și acum să vedem proprietatea referitoare la unghiul exterior unui triunghi:

P2. Un unghi exterior unui triunghi are măsura egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare, neadiacente cu el.

∡ACD = ∡A+∡B.

Probleme rezolvate cu Triunghiul și proprietățile unui triunghi

Problema 1

Un triunghi are lungimile laturilor de 6 cm, 8 cm și 10 cm. Aflați perimetrul triunghiului.

Rezolvare

P = 6+8+10 = 24 cm.

Problema 2

În triunghiul ABC, unghiul A are măsura de 67° și unghiul C are măsura de 83°. Aflați măsura unghiului B.

Rezolvare:

Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este de 180°.

∡A+∡B+∡C = 180°
67°+∡B+83°=180°
150°+∡B=180°
∡B=180°-150°=30°.

Problema 3

Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele 2, 3 și 4. Aflați unghiurile triunghiului.

Rezolvare:

Notăm cu A, B, C cele trei unghiuri.

Problema 4

În triunghiul ABC, unghiul C are 45°. Unghiul ABM este exterior triunghiului și are măsura de 110°. Aflați măsura unghiului A și măsura unghiului ABC.

Rezolvare:

Unghiurile ABM și ABC sunt suplementare:

∡ABM+∡ABC=180° ⟹ ∡ABC=180°-110°=70°.

∡A+∡ABC+∡C=180°
∡A+70°+45°=180°
∡A+115°=180°
∡A=180°-115°=65°.

Metoda 2: am fi putut afla mai întâi unghiul A, folosind proprietatea unghiului exterior și apoi să aflăm unghiul ABC.