Un poligon regulat este un poligon cu toate laturile și toate unghiurile congruente. Triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat sunt poligoane regulate. Acestea se pot înscrie într-un cerc, numit cerc circumscris poligonului, a cărui rază o vom nota cu R.

Apotema (ap) unui poligon regulat este distanța de la centrul cercului circumscris la o latură a poligonului.

În această lecție vom învăța să exprimăm latura, apotema și aria triunghiului echilateral, a pătratului și a hexagonului regulat în funcție de raza cercului circumscris.

Să începem cu triunghiul echilateral.

1. Latura, apotema și aria triunghiului echilateral în funcție de raza cercului circumscris

Triunghi echilateral înscris în cerc

În figura de mai sus avem triunghiul ABC echilateral. Notăm cu l latura triunghiului: l=AB=AC=BC. Fie R raza cercului circumscris: R=OA=OB=OC, iar OM este apotema triunghiului. Ne propunem să calculăm l, ap și A (aria) în funcție de R.

Segmentul AM este înălțime, mediană și bisectoare, pentru că într-un triunghi echilateral, liniile importante coincid. La fel se întâmplă și cu liniile care pornesc din B sau C. Prin urmare, OB și OC sunt bisectoare, iar ∡OBM=∡OCM=30°. Triunghiul OBM este dreptunghic și cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză, deci ap=R/2. (1)

Punctul M este mijlocul lui BC și atunci BM=MC=l/2. Dacă aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul OBM cu OB=R, OM=R/2, obținem că l=R undefined. (2)

Pentru a calcula aria triunghiului trebuie să știm mai întâi înălțimea. AM=AO+OM=R+R/2=3R/2. Aria triunghiului este semiprodusul dintre bază și înălțime: A=BC∙AM/2 și înlocuind BC și AM cu rezultatele obținute, vom avea: A= undefined. (3)

O altă formulă utilă este aria triunghiului echilateral exprimată în funcție de latura triunghiului. Din relația (2) exprimăm R și înlocuim în relația (3). Vom obține: undefined

În concluzie, am obținut următoarele formule:

Latura, apotema și aria triunghiului echilateral

2. Latura, apotema și aria pătratului în funcție de raza cercului circumscris

Pătrat înscris în cerc

În figura de mai sus avem pătratul ABCD și am notat cu l latura acestuia l=AB=BC=CD=DA și cu R raza cercului R=OA=OB=OC=OD. Fie OM apotema pătratului (ap). Triunghiul BOC este dreptunghic isoscel (pentru că diagonalele pătratului sunt perpendiculare și se înjumătățesc) și vom aplica teorema lui Pitagora:

OB2+OC2=BC2
R2+R2=BC2
2R2 = BC2 , de unde obținem că l=BC=Rundefined.

Să calculăm acum apotema. OM este mediană în triunghi dreptunghic, așadar ea va fi jumătate din ipotenuză: OM=BC/2= undefined

Aria pătratului este latura la puterea a doua, prin urmare A=l2=2R2.

Am obținut următoarele formule:

Latura, apotema și aria pătratului

3. Latura, apotema și aria hexagonului regulat în funcție de raza cercului circumscris

Pentru a construi corect un hexagon regulat, împărțim cercul în 6 arce egale, fiecare având măsura egală cu 360°:6=60°. Așadar, unghiurile la centru vor avea măsura de 60 de grade.

Hexagon regulat înscris în cerc

În figura de mai sus avem un hexagon regulat ABCDEF, am notat cu l latura acestuia: l=AB=BC=…=FA și cu R raza cercului R=OC=OD=…=OB. Fie OM apotema hexagonului.

Triunghiul COD este isoscel (OC=OD=R), iar unghiul COD are 60°, prin urmare triunghiul COD este echilateral. Deci l=CD=R.

Dacă triunghiul COD este echilateral și OM este înălțime, atunci OM este și mediană, prin urmare M va fi mijlocul lui CD și CM=MD=l/2=R/2. Pentru a afla apotema OM vom aplica teorema lui Pitagora în triunghiul OMC cu OC=R și CM=R/2 și vom obține ap=OM=undefined.

Aria hexagonului se obține însumând ariile celor șase triunghiuri echilaterale congruente (având latura egală cu R):

A=6∙A∆COD=undefined

Am obținut următoarele formule:

Latura, apotema și aria hexagonului regulat

Probleme rezolvate

Problema 1

Aflați aria unui triunghi echilateral cu latura de 2 cm.

Rezolvare:

Problema 2

Aflați aria unui hexagon regulat cu latura de 4 cm.

Rezolvare:

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.