Congruenta triunghiurilor

În această lecție vom discuta despre congruenta triunghiurilor și vom rezolva probleme cu Metoda triunghiurilor congruente.

Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime. Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași măsură. Dar când sunt congruente două triunghiuri?

În general, dacă două figuri coincid prin suprapunere, spunem că ele sunt congruente.

Să ne gândim că avem o bucată de carton pe care desenăm două triunghiuri și apoi le decupăm. Dacă putem așeza cele două triunghiuri unul peste celălalt și ele coincid perfect, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Triunghiurile congruente au elementele corespunzătoare congruente două câte două. Așadar, dacă ∆ABC ≡ ∆A’B’C’, atunci au loc următoarele șase congruențe:

AB ≡ A’B’, BC ≡ B’C’, AC ≡ A’C’, ∡A ≡ ∡A’, ∡B ≡ ∡B’, ∡C ≡ ∡C’.

Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt congruente, nu este nevoie să demonstrăm toate cele șase congruențe, ci este suficient să demonstrăm doar trei dintre acestea. Dacă trei elemente coincid, atunci coincidența celorlalte este o consecință.

Avem următoarele cazuri (criterii) de congruență:

Congruenta triunghiurilor- Cazuri de congruență

1. Cazul L.U.L. (latură-unghi-latură):

Două triunghiuri sunt congruente dacă au două laturi și unghiul dintre acestea respectiv congruente.

2. Cazul U.L.U. (unghi-latură-unghi):

Două triunghiuri sunt congruente dacă au o latură și două unghiuri alăturate respectiv congruente.

3. Cazul L.L.L. (latură-latură-latură):

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile respectiv congruente.

Congruenta triunghiurilor: Metoda triunghiurilor congruente – probleme rezolvate

Metoda triunghiurilor congruente este o metodă prin care putem demonstra că două segmente sau două unghiuri sunt congruente. Dacă într-o problemă se cere să arătăm că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, le vom încadra în două triunghiuri a căror congruență o putem demonstra. Din congruența celor două triunghiuri va rezulta congruența segmentelor / unghiurilor cerute.

Problema 1

Fie ABC un triunghi isoscel cu AB≡AC și notăm cu S mijlocul laturii BC. Arătați că ∡BAS ≡ ∡CAS.

Rezolvare:

Încercăm să găsim două triunghiuri care conțin cele două unghiuri. ∡BAS face parte din triunghiul ABS și ∡CAS face parte din triunghiul ACS. Prin urmare, vom demonstra că aceste două triunghiuri sunt congruente, iar din congruența lor va rezulta și congruența celor două unghiuri. Pentru a demonstra că triunghiurile ABS și ACS sunt congruente, trebuie să găsim trei elemente respectiv congruente, gândindu-ne la cazurile de congruență menționate mai sus. Știm din datele problemei că AB ≡ AC, iar dacă S este mijlocul lui BC, atunci BS ≡ CS. Iar latura AS este latură comună celor două triunghiuri. Așadar suntem în cazul de congruență L.L.L. (pentru că am găsit trei laturi respectiv congruente). Redactăm astfel:

Problema 2

În figura de mai jos, dreptele a și b sunt paralele, iar c și d sunt secante. Dacă AB ≡ CD, arătați că OB ≡ OD.

Rezolvare:

Vom arăta că triunghiurile OAB și OCD sunt congruente.

Vom ține cont de faptul că dreptele a și b sunt paralele și se formează perechi de unghiuri alterne interne congruente.

Citește și lecția Congruenta triunghiurilor dreptunghice.