Ecuatii de gradul al doilea

În această lecție vom discuta despre ecuatii de gradul doi și o să vedem care sunt pașii pentru rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea. Haideți să vedem o problemă practică care conduce la ecuatii de gradul al doilea:

O minge este aruncată în sus de la o înălțime de 4 metri cu o viteză inițială de 12 m/s. După cât timp va ajunge mingea la sol?

Înălțimea la care ajunge mingea la momentul t se calculează astfel:

h = 4 + 12t – 5t²

(cum s-a ajuns la această formulă – vedeți la finalul articolului).

Mingea atinge solul când h = 0 și obținem relația:

– 5t² +12t + 4 = 0,

care este o ecuație de gradul doi cu necunoscuta t. Într-o ecuație de gradul al doilea, necunoscuta apare la puterea a doua.

Forma generală a unei ecuații de gradul doi este:

ax² + bx + c = 0,

unde x este necunoscuta, iar coeficienții a, b și c sunt numere reale, cu a diferit de zero (dacă a = 0, atunci ecuația nu mai este de gradul doi, ci vom avea o ecuație liniară). Termenul ax² se numește termen pătratic, bx se numește termen liniar, iar c se numește termen liber.

Rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea

Pentru a găsi soluțiile ecuației de gradul doi, vom împărți ecuația cu a și vom încerca să formăm un pătrat perfect. (puteți omite această etapă și să citiți doar concluziile; aceste calcule sunt doar pentru cei pasionați de matematică 🙂 ).

Valoarea notată cu litera grecească delta ∆ se numește discriminantul ecuației de gradul doi, pentru că acesta stabilește natura și numărul soluțiilor ecuației. În funcție de semnul lui delta, vom avea următoarele cazuri: (1) dacă delta este pozitiv, ecuația admite două soluții reale distincte; (2) dacă delta este egal cu zero, ecuația are o singură soluție; (3) dacă delta este negativ, ecuația nu admite soluții în mulțimea numerelor reale (dar are soluții complexe, iar despre acestea veți învăța la liceu).

Concluzii- pașii pentru rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea

Pașii pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul doi sunt:

1. Identificăm coeficienții a, b și c;
2. Calculăm delta– discriminantul ecuației și vom avea următoarele cazuri:

Exerciții rezolvate – ecuatii de gradul doi

Vă invit să vizionați acest video, în care am prezentat câteva ecuații de gradul al doilea, rezolvate fie prin metoda cu delta, fie prin descompunere în factori (un produs este zero dacă unul din factori este zero). La final te invit să rezolvi și testul online.

Să revenim acum la relația scrisă la începutul articolului. Se învață la fizică că înălțimea h la momentul t, a unui obiect aruncat în sus de la o înălțime h₀, cu viteza inițială v₀ este:

h(t) = h₀ + v₀t – (g/2)t²,

unde g este accelerația gravitațională și este egală cu 9,8 m/s². În formulă am aproximat g/2 ~ 5.

Dacă h₀=4 și v₀=12, obținem că:

h = 4 + 12t – 5t².

Dacă înlocuim h cu zero și rezolvăm ecuația astfel obținută cu necunoscuta t, vom afla după cât timp ajunge mingea la sol (se va lua doar valoarea pozitivă pentru t, deoarece timpul nu poate fi negativ). Vă las acest exercițiu ca temă; puteți folosi calculatorul și puteți face aproximări când calculați radical din delta.

Recapitulează și lecția Ecuatii de gradul întâi cu o necunoscută.

Test online Ecuatii de gradul doi

Încearcă să rezolvi acest test cu zece întrebări, fiecare având câte un punct. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!