Teorema împărțirii cu rest

În această lecție vom învăța teorema impartirii cu rest și vom vedea cum poate fi aplicată această teoremă în rezolvarea problemelor. Atunci când efectuăm o împărțire, aceasta poate fi împărțire exactă sau împărțire cu rest. De exemplu 12:3 = 4 este o împărțire exactă (cu rest zero), în schimb 13:3=4 rest 1 este o împărțire cu rest. Numerele care apar într-o împărțire au următoarele denumiri:

Cum putem verifica dacă am făcut împărțirea corect? Pentru a face proba unei împărțiri, vom înmulți câtul cu împărțitorul, apoi adunăm restul, iar numărul obținut ar trebui să fie egal cu deîmpărțitul. Haideți să verificăm:

3 ∙ 4 + 1 = 13 (A)

Observăm că am obținut o relație adevărată, care, la modul general, se poate scrie astfel:

D = Î ∙ C+R, R < Î

și care se numește Teorema împărțirii cu rest, unde: D este deîmpărțitul, Î este împărțitorul, C este câtul și R este restul.

Restul trebuie să fie întotdeauna mai mic decât împărțitorul (în caz contrar înseamnă că nu am efectuat corect împărțirea). De exemplu, atunci când împărțim un număr la 6, restul poate lua următoarele valori: 0, 1, 2, 3, 4 și 5.

Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest

Problema 1

Aflați numărul natural care împărțit la 7 dă câtul 15 și restul 3.

Rezolvare:

Notăm numărul necunoscut cu n:

n : 7 = 15 rest 3

Scriem teorema împărțirii cu rest folosind datele problemei (în acest caz deîmpărțitul este n):

D = Î ∙ C+R

n = 7 ∙15 + 3

n = 108.

Problema 2

Aflați două numere știind că suma lor este 137 și împărțind un număr la celălalt obținem câtul 5 și restul 11.

Rezolvare:

Notăm cele două numere cu a și b.

a + b = 137

a : b = 5 rest 11; scriem teorema împărțirii cu rest pentru această relație și obținem:

a = 5∙b + 11

În continuare vom rezolva problema folosind metoda grafică. Vom reprezenta numărul b printr-un segment, iar a este de 5 ori mai mare decât b plus 11:

Observăm că dacă scădem 11 din totalul de 137, ne rămân 6 segmente egale.

137 – 11 = 126

126 : 6 = 21; deci un segment reprezintă 21.

Am obținut că b = 21.

a = 5∙b + 11 = 5∙21 + 11 = 116.

Citește și lecția următoare: Puterea unui număr natural