Geometrie clasa 7

Teorema inaltimii

În această lecție vom prezenta teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic.

Teorema înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Sună complicat, dar nu e 🙂 Să privim desenul următor:

teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic
Teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A. Catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC. Notăm cu AD înălțimea triunghiului, AD⊥BC. Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este CD. Atunci, conform teoremei înălțimii, are loc relația:

AD2 = BD∙CD.

Această relație se deduce din asemănarea triunghiurilor ADC și BDA (caz de asemănare U.U.).

În continuare vom deduce o altă formulă importantă pentru calculul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.

Înălțimea într-un triunghi dreptunghic se poate exprima și în funcție de laturile triunghiului ABC. Astfel, dacă scriem aria triunghiului ABC în două moduri și egalăm cele două relații, vom avea:

formula înălțimii în triunghiul dreptunghic
Formula înălțimii în triunghiul dreptunghic în funcție de laturi

Am obținut astfel că înălțimea unui triunghi dreptunghic este produsul catetelor supra ipotenuză.

Probleme rezolvate cu teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic

Problema 1

Fie MNP un triunghi dreptunghic în M și fie MO⊥NP. Dacă MO=6 cm și OP=9 cm, aflați lungimea ipotenuzei NP.

Rezolvare:

Aplicăm teorema înălțimii MO2 = NO∙OP și vom înlocui lungimile cunoscute MO = 6 și OP = 9:

36=NO ∙ 9 ⟹ NO=36:9=4 cm.

NP = NO+OP = 4+9 = 13 cm.

Problema 2

Aflați înălțimea unui triunghi dreptunghic având catetele de 9 cm, 12 cm și ipotenuza de 15 cm.

Rezolvare:

Notăm cu h înălțimea triunghiului. Atunci h va fi produsul catetelor supra ipotenuză:

Citește și lecția următoare: Teorema catetei.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest site folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.