Într-un triunghi dreptunghic, pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Sună complicat, dar nu e 🙂 Să privim desenul următor:

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A. Catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC. Notăm cu AD înălțimea triunghiului, AD⊥BC. Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este CD. Atunci, conform teoremei înălțimii, are loc relația:

AD2 = BD∙CD.

Această relație se deduce din asemănarea triunghiurilor ADC și BDA (caz de asemănare U.U.).

Înălțimea într-un triunghi dreptunghic se poate exprima și în funcție de laturile triunghiului ABC. Astfel, dacă scriem aria triunghiului ABC în două moduri și egalăm cele două relații, vom avea:

Formula înălțimii în triunghiul dreptunghic în funcție de laturi

Am obținut astfel că înălțimea unui triunghi dreptunghic este produsul catetelor supra ipotenuză.

Probleme rezolvate cu teorema înălțimii

Problema 1

Fie MNP un triunghi dreptunghic în M și fie MO⊥NP. Dacă MO=6 cm și OP=9 cm, aflați lungimea ipotenuzei NP.

Rezolvare:

Aplicăm teorema înălțimii MO2 = NO∙OP și vom înlocui lungimile cunoscute MO = 6 și OP = 9:

36=NO ∙ 9 ⟹ NO=36:9=4 cm.

NP = NO+OP = 4+9 = 13 cm.

Problema 2

Aflați înălțimea unui triunghi dreptunghic având catetele de 9 cm, 12 cm și ipotenuza de 15 cm.

Rezolvare:

Notăm cu h înălțimea triunghiului. Atunci h va fi produsul catetelor supra ipotenuză:

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.