Triunghiul isoscel

Triunghiul isoscel este triunghiul cu două laturi congruente (egale).

În figura de mai jos, triunghiul ABC este isoscel, AB ≡ AC, iar BC se numește bază.

În continuare o să vedem care sunt proprietățile triunghiului isoscel.

Proprietățile triunghiului isoscel

Proprietatea 1. Într-un triunghi isoscel, unghiurile alăturate bazei sunt congruente.

În figura de mai sus, triunghiul ABC isoscel ⟹ ∡B ≡ ∡C.

Următoarea proprietate se referă la liniile importante în triunghi. Pentru a înțelege mai bine această proprietate, am desenat mai întâi un triunghi oarecare MNP în care am construit cele patru linii importante (vezi figura 2):

• MO- bisectoarea unghiului M
• ME -înălțime
• MF- mediană (F- mijloc)
• LF- mediatoare

În figura 3, avem triunghiul isoscel ABC, în care am construit de-asemenea, cele patru linii importante: bisectoarea unghiului A, înălțimea din A, mediana și mediatoarea corespunzătoare bazei. Cu toate acestea, se vede doar o singură linie: AO. De ce? Pentru că ele coincid (se suprapun). Așadar, putem formula următoarea proprietate a triunghiului isoscel:

Proprietatea 2. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea unghiului opus bazei este și înălțime, mediană și mediatoare.

Conform acestei proprietăți, putem demonstra că un triunghi este isoscel dacă două linii importante coincid (mediana este și înălțime, sau bisectoarea este și mediană, etc.).

Să vedem în continuare și alte proprietăți ale triunghiului isoscel. Acestea se pot demonstra folosind metoda triunghiurilor congruente.

Proprietatea 3. Într-un triunghi isoscel, bisectoarele unghiurilor congruente sunt congruente.

Proprietatea 4. Într-un triunghi isoscel, medianele corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.

Proprietatea 5. Într-un triunghi isoscel, înălțimile corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.

Probleme rezolvate cu triunghiul isoscel

Problema 1

Fie ABC un triunghi isoscel cu baza BC. Dacă unghiul B are măsura de 50°, aflați celelalte unghiuri.

Rezolvare:

Unghiurile de la bază sunt congruente, prin urmare ∡C=∡B=50°.

∡A=180°-(50°+50°)=80°.

Problema 2

Fie ABC un triunghi isoscel cu baza BC=6 cm. Știind că perimetrul triunghiului este de 20 cm, aflați lungimile laturilor AB și AC.

Rezolvare:

Dacă baza este BC, atunci AB=AC.

P=AB+AC+BC=2AB+BC=20 cm

2AB+BC=20

2AB+6=20

2AB=20-6=14

AB=14:2=7 cm

AC=AB=7 cm.

Problema 3

Fie ABC un triunghi dreptunghic în B și fie M simetricul punctului A față de B. Arătați că triunghiul ACM este isoscel.

Rezolvare:

Haideți să vedem mai întâi ce este simetricul unui punct față de un punct. Punctul M este simetricul punctului A față de B, dacă B este mijlocul segmentului AM. Așadar, pentru a construi simetricul lui A față de B, vom prelungi segmentul AB cu un alt segment MB congruent cu AB.

Metoda 1

Putem arăta că un triunghi este isoscel dacă două linii importante coincid. În cazul de față, observăm că CB este înălțime, pentru că CB⊥AM și CB este și mediană, deoarece punctul B este mijlocul segmentului AM, conform construcției făcute. Prin urmare, triunghiul CAM este isoscel.

Metoda 2

Am fi putut rezolva problema și prin metoda triunghiurilor congruente: se arată că triunghiurile dreptunghice CAB și CMB sunt congruente (caz C.C.), de unde rezultă că CA ≡ CM, așadar triunghiul CAM este isoscel (pentru că are două laturi egale).