1. Noțiunea de asemănare În această lecție vom discuta despre triunghiuri asemenea și teorema fundamentală a asemănării. Figurile asemenea sunt figurile care își păstrează forma, dar nu își păstrează mărimea. Astfel, două figuri sunt asemenea dacă laturile corespunzătoare sunt proporționale și unghiurile sunt congruente. Mulți dintre noi folosim asemănarea aproape zilnic, fără să ne dăm seama. Dacă mărim sau micșorăm o poză de pe telefonul mobil, obținem o imagine asemenea cu imaginea inițială. Asemănarea este des întâlnită în viața de zi cu zi. De exemplu, un telescop sau un microscop modifică imaginile făcându-le mai ușor de vizualizat, dar raportul dintre dimensiunile imaginilor rămâne același. Asemănarea este folosită și în fotografia digitală, atunci când o imagine trebuie tipărită pe un poster. Dacă dimensiunile posterului nu sunt proporționale cu cele ale fotografiei, atunci imaginea va apărea distorsionată. Asemănarea este folosită și în arhitectură la proiectarea construcțiilor, când se realizează mai întâi o machetă (model la scară redusă) a clădirii, respectându-se formele și proporțiile. Asemănarea se poate folosi pentru a calcula anumite distanțe sau înălțimi (de exemplu înălțimea unui copac), așa cum vom vedea la finalul articolului. În concluzie, este bine să reținem că prin asemănare înțelegem o mărire sau o micșorare la scară a figurilor. 2. Triunghiuri asemenea Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile corespunzătoare proporționale. Relația de asemănare dintre două triunghiuri ABC și A’B’C’ se notează astfel: ∆ABC ~ ∆A’B’C’. Numărul k se numește raport de asemănare. Pentru k=1 obținem laturi egale, adică triunghiuri congruente. Congruența triunghiurilor este un caz particular de asemănare, în care raportul de asemănare este 1. Dacă privim cele două triunghiuri din figura de mai sus, observăm că raportul de asemănare k este 1/2, prin urmare laturile triunghiului A’B’C’ sunt de două ori mai mari decât cele ale triunghiului ABC. 3. Triunghiuri asemenea Teorema fundamentală a asemănării Teorema fundamentală a asemănării. O paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat. Din asemănarea celor două triunghiuri va rezulta congruența unghiurilor și relația de proporționalitate dintre laturi. Haideți să vedem cum putem folosi teorema fundamentală a asemănării pentru a calcula înălțimea unui copac (sau a oricărui alt obiect înalt, cum ar fi un catarg cu steag). Puteți face acest exercițiu când mergeți la munte, într-o zi însorită. Exercițiu practic Cum putem calcula înălțimea unui copac, măsurând umbra acestuia? Să presupunem că umbra unui copac are o lungime de 4,5 m și un elev se așază la o distanță de 3 m față de copac, astfel încât umbra lui să se suprapună cu umbra copacului, ca în imaginea de mai jos (umbra elevului este linia roșie). Dacă înălțimea elevului este de 1,72 m, iar umbra sa are o lungime de 1,5 m, să se afle înălțimea copacului. Rezolvare: Vom folosi teorema fundamentală a asemănării (BC||DE). Triunghiurile ABC și ADE sunt asemenea, așadar putem scrie următoarea relație: Înlocuind în relația de mai sus segmentele cunoscute, putem afla x = DE (înălțimea copacului). Citește și lecția: Criterii de asemănare a triunghiurilor.