Mulțimi de numere:

  • naturale (N)- exemple: 0, 1, 2, 3, …
  • întregi (Z)- exemple: -7, -5, 0, 4, …
  • raționale (Q)- exemple:
0,15; \frac{3}{4}; -5; -\frac{1}{7};3,(2);
  • reale (R)- exemple:
-1;\sqrt3;\frac{8}{5};-\sqrt7; 3,(2);
  • iraționale (R-Q)- exemple:
\sqrt7;-\sqrt3;\pi;

Operații cu mulțimi. Dacă A = {0,1,2,3} și B = {2,3,4}, atunci:

  • reuniunea A∪B = {0,1,2,3,4} (toate elementele, scrise o singură dată)
  • intersecția A∩B = {2,3} (doar elementele comune)
  • diferența A-B = {0,1} (elementele care sunt în A, dar nu sunt în B).

Suma Gauss:

1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}

Teorema împărțirii cu rest:

D=Î\cdot C+R,R<Î
  • exemplu: 25 : 4 = 6 rest 1; atunci 25 = 4∙6 + 1

Reguli de calcul cu puteri:

a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\a^m:a^n=a^{m-n} \\(a^m)^n=a^{m \cdot n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \\ a^n:b^n=(a:b)^n \\a^0=1 \\a^1=a\\a^{-x}=\frac{1}{a^x}

Criterii de divizibilitate:

  • cu 2: dacă ultima cifră este 0, 2, 4, 6, 8 (ex: 182)
  • cu 3: dacă suma cifrelor e divizibilă cu 3 (ex: 111)
  • cu 5: dacă ultima cifră e 0 sau 5 (ex: 1380)
  • cu 9: dacă suma cifrelor e divizibilă cu 9 (ex: 720)
  • cu 10: dacă ultima cifră este 0 (ex: 420).

Procente: p% din x este

\frac{p}{100}\cdot x=\frac{p\cdot x}{100}

Transformare fracții periodice în fracții ordinare:

0,(45)=\frac{45}{99}
1,(523)=\frac{1523-1}{999}=\frac{1522}{999}
3,5(21)=\frac{3521-35}{990}=\frac{3486}{990}

Cel mai mare divizor comun – înmulțim factorii primi comuni, la puterea cea mai mică.
Cel mai mic multiplu comun– înmulțim factorii primi comuni și necomuni la puterea cea mai mare.
Exemple:

24=2^3\cdot 3\quad și\quad80=2^4\cdot 5\\(24,80)=2^3=8 \\ [24,30]=2^4 \cdot 3\cdot5

Mărimi direct proporționale: a1a2, direct proporționale cu b1b2 dacă

\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=k

Mărimi invers proporționale: a1a2, invers proporționale cu b1b2 dacă

a_1\cdot b_1=a_2 \cdot b_2 =k

Aflarea unui termen necunoscut x dintr-o proporție:

\frac{2}{3}=\frac{x}{18}\Rightarrow x=\frac{2\cdot 18}{3}

Probabilitatea unui eveniment:

P=\frac{nr.\quad cazuri \quad favorabile}{nr. \quad cazuri\quad posibile}

Media aritmetică a două numere a și b este:

m_a=\frac{a+b}{2}

Media aritmetică a n numere:

m_a=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}

Media aritmetică ponderată a numerelor 5, 7 și 8 având ponderile 3, 8 și 9 este:

m_p=\frac{5\cdot3+7\cdot 8+8\cdot 9}{3+8+9}

Media geometrică a două numere pozitive:

m_g=\sqrt {a\cdot b}

Modulul unui număr real:

|x|=\begin{cases} x, & \text{dacă x ≥0 }\\ -x, & \text{dacă x<0}\\ \end{cases}
  • exemple:
|-4|=4; \\|1-\sqrt2|=-(1-\sqrt2)=\sqrt2-1 ;

Proprietățile modulului:

|x| \geq0,∀x \in R\\|a\cdot b|=|a|\cdot|b|\\ \mid\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}, b ≠0\\|a+b|\leq|a|+|b|\\

Partea întreagă a unui număr real x este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu x. Exemple: [1,25] = 1; [-2,7] = -3.

Partea fracționară a unui număr real x este diferența dintre x și partea întreagă a lui x, adică {x} = x – [x]. Exemple: {1,25} = 1,25 – 1 = 0,25.

Proprietățile radicalilor. Fie a, b numere reale pozitive și x număr real.

\sqrt{x^2}=|x|\\ \sqrt{a\cdot b}=\sqrt a \cdot \sqrt b\\ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}, b≠0\\

Scoaterea factorilor de sub radical. Fie p ≥ 0, q ≥ 0.

\sqrt{p^2\cdot q}=p\sqrt q\\ ex: \sqrt{18}=\sqrt{3^2\cdot 2}=3\sqrt2

Formule de calcul prescurtat:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)(a-b)=a^2-b^2.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.