Sinteză formule Algebră pentru Evaluarea Națională

În acest articol sunt prezentate principalele Formule de algebra pentru evaluarea nationala la matematica.

Mulțimi de numere:

• naturale (N)- exemple: 0, 1, 2, 3, …
• întregi (Z)- exemple: -7, -5, 0, 4, …
• raționale (Q)- exemple:

0,15; \frac{3}{4}; -5; -\frac{1}{7};3,(2);

• reale (R)- exemple:

-1;\sqrt3;\frac{8}{5};-\sqrt7; 3,(2);

• iraționale (R-Q)- exemple:

\sqrt7;-\sqrt3;\pi;

Operații cu mulțimi. Dacă A = {0,1,2,3} și B = {2,3,4}, atunci:

• reuniunea A∪B = {0,1,2,3,4} (toate elementele, scrise o singură dată)
• intersecția A∩B = {2,3} (doar elementele comune)
• diferența A-B = {0,1} (elementele care sunt în A, dar nu sunt în B).

Suma Gauss:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

Teorema împărțirii cu rest:

D=Î\cdot C+R,R<Î

• exemplu: 25 : 4 = 6 rest 1; atunci 25 = 4∙6 + 1

Reguli de calcul cu puteri:

a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\[12pt]a^m:a^n=a^{m-n} \\[12pt](a^m)^n=a^{m \cdot n}\\[12pt] a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \\[12pt] a^n:b^n=(a:b)^n \\[12pt] a^0=1 \\[12pt] a^1=a\\[12pt]a^{-x}=\frac{1}{a^x} 

Criterii de divizibilitate:

• cu 2: dacă ultima cifră este 0, 2, 4, 6, 8 (ex: 182)
• cu 3: dacă suma cifrelor e divizibilă cu 3 (ex: 111)
• cu 5: dacă ultima cifră e 0 sau 5 (ex: 1380)
• cu 9: dacă suma cifrelor e divizibilă cu 9 (ex: 720)
• cu 10: dacă ultima cifră este 0 (ex: 420)
• cu 100: dacă ultimele două cifre sunt 00 (ex: 1300)
• cu 1000: dacă ultimele trei cifre sunt 000 (ex: 25000).

Numerele prime – au exact doi divizori: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc.

Procente: p% din x este

\frac{p}{100}\cdot x=\frac{p\cdot x}{100}

Introducerea întregilor în fracție:

a\frac{b}{c}=\frac{a \cdot c+b}{c}

Scoaterea întregilor din fracție:

\frac{x}{y}=c \frac{r}{y},

unde c reprezintă câtul împărțirii numărului x la y, iar r este restul împărțirii:

x:y=c \quad rest \quad  r

Transformare fracții periodice în fracții ordinare:

0,(45)=\frac{45}{99}

1,(523)=\frac{1523-1}{999}=\frac{1522}{999}

3,5(21)=\frac{3521-35}{990}=\frac{3486}{990}

Cel mai mare divizor comun – descompunem numerele în factori primi; înmulțim factorii primi comuni, la puterea cea mai mică.
Cel mai mic multiplu comun– descompunem numerele în factori primi; înmulțim factorii primi comuni și necomuni la puterea cea mai mare.
Exemple:

24=2^{3} \cdot 3   \\ 80=2^4\cdot 5 \\ (24,80)=2^3=8  \\ \ [24,80]=2^4 \cdot 3\cdot 5

Mărimi direct proporționale: a₁, a₂, direct proporționale cu b₁, b₂ dacă

\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=k

Mărimi invers proporționale: a₁, a₂, invers proporționale cu b₁, b₂ dacă

a_1\cdot b_1=a_2 \cdot b_2 =k

Aflarea unui termen necunoscut x dintr-o proporție:

\frac{2}{3}=\frac{x}{18}\Rightarrow x=\frac{2\cdot 18}{3}

Probabilitatea unui eveniment:

P=\frac{nr.\quad cazuri \quad favorabile}{nr. \quad cazuri\quad posibile}

Media aritmetică a două numere a și b este:

m_a=\frac{a+b}{2}

Media aritmetică a n numere:

m_a=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

Media aritmetică ponderată a numerelor 5, 7 și 8 având ponderile 3, 8 și 9 este:

m_p=\frac{5\cdot3+7\cdot 8+8\cdot 9}{3+8+9}

Media geometrică a două numere pozitive:

m_g=\sqrt {a\cdot b}

Modulul unui număr real:

|x|=\begin{cases}
       x, & \text{dacă x ≥0 }\\
      -x, & \text{dacă x<0}\\
         \end{cases}       

• exemple:

 |-4|=4; \\|1-\sqrt2|=-(1-\sqrt2)=\sqrt2-1 ;

Proprietățile modulului:

|x| \geq0,∀x \in R\\[12pt]|a\cdot b|=|a|\cdot|b|\\[12pt] \mid\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}, b ≠0\\[12pt]|a+b|\leq|a|+|b|\\ 

Partea întreagă a unui număr real x este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu x. Exemple: [1,25] = 1; [-2,7] = -3.

Partea fracționară a unui număr real x este diferența dintre x și partea întreagă a lui x, adică {x} = x – [x]. Exemple: {1,25} = 1,25 – 1 = 0,25.

Proprietățile radicalilor. Fie a, b numere reale pozitive și x număr real.

\sqrt{x^2}=|x|\\[12pt] \sqrt{a\cdot b}=\sqrt a \cdot \sqrt b\\[12pt] \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}, b≠0\\

Scoaterea factorilor de sub radical. Fie p ≥ 0, q ≥ 0.

\sqrt{p^2\cdot q}=p\sqrt q\\[12pt] ex: \sqrt{18}=\sqrt{3^2\cdot 2}=3\sqrt2

Introducerea factorilor sub radical. Fie p ≥ 0, q ≥ 0.

p \sqrt q= \sqrt{p^2\cdot q} \\[12pt] -p \sqrt q= -\sqrt{p^2\cdot q}

Formule de calcul prescurtat:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2.

Ecuaţii de gradul doi:

Forma generală a ecuaţiei de gradul al doilea este:

ax^2+bx+c=0

Paşii de rezolvare:

Se identifică coeficienţii a, b, c şi se calculează discriminantul ecuaţiei:

\Delta=b^2-4ac

Dacă Δ>0, ecuaţia admite două soluţii reale distincte:

x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a};  x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}

Dacă Δ=0, ecuaţia admite două soluţii reale egale (o soluţie):

x_1=x_2=\frac{-b}{2a}

Dacă Δ<0, ecuaţia NU admite soluţii reale.

Funcții de gradul I: f : R → R, f(x) = ax+b

Intersecția graficului cu axele Ox și Oy:

• Pentru a găsi punctul de intersecție dintre graficul funcției și axa Ox, vom pune condiția y = 0 și apoi rezolvăm ecuația f(x) = 0 pentru a-l afla pe x; vom obține un punct A(x,0).
• Pentru a găsi punctul de intersecție dintre graficul funcției și axa Oy, vom pune condiția x=0 și apoi calculăm y = f(0); vom obține un punct B(0,y).

Condiția ca un punct să aparțină graficului:

Un punct M(a,b) aparține graficului unei funcții dacă f(a) = b.

Distanța dintre două puncte în plan

Fie A, B, M trei puncte în reperul cartezian având coordonatele: A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), M(x_M,y_M).

Lungimea segmentului AB se calculează astfel:

AB=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+(y_B-y_A)^2}

Dacă M este mijlocul segmentului AB, atunci coordonatele punctului M vor fi:

x_M=\frac{x_A+x_B}{2}  ; y_M=\frac{y_A+y_B}{2} 

Media unui set de date statistice: este media aritmetică a valorilor din setul considerat:

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

Mediana unui set de date statistice:

• Mediana unui set de date cu număr impar de valori ordonate crescător este valoarea din mijloc.
• Mediana unui set de date cu număr par de valori ordonate crescător este media aritmetică a celor doi termeni din mijloc.

Amplitudinea unui set de date statistice: – diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare.

Modul unui set de date statistice: – este valoarea cu cea mai mare frecvență.