Ce sunt numerele complexe?
Mulțimea numerelor complexe a apărut ca o necesitate de a extinde noțiunea de număr real, astfel încât ecuații de tipul:
{\large x^2+1=0}să admită soluții. Pentru a rezolva această ecuație se introduce un nou număr, notat cu i, care se numește unitate imaginară, astfel încât:
{\large \textcolor{red}{i^2=-1, \ deci }}{\large \textcolor{red} {i=\sqrt{-1}.}}Astfel, ecuația de mai sus va avea soluțiile:
\large x_1=i, \ x_2=-i.
Mulțimea numerelor complexe este mulțimea:
\textcolor{red}{\large \mathbb{C}=\{ z=a+bi | \ a,b \in \mathbb{R}\}.}Astfel, orice număr complex este de forma:
\large z=a+bi, \ a,b \in \mathbb R.
Orice număr complex este o sumă dintre un număr real și un număr imaginar. Numărul a reprezintă partea reală a numărului complex z, iar b se numește partea imaginară a numărului z. Vom nota astfel:
\large Re(z)=a, \ Im(z)=b.
O metodă utilă de a vizualiza numerele complexe este reprezentarea acestora într-un sistem de axe ortogonale. Practic, un număr complex z=a+bi poate fi privit și ca o pereche de numere reale z=(a,b), care pot fi reprezentate în plan. Numărul a se reprezintă pe axa Ox, numită axa reală, iar b se reprezintă pe axa Oy, numită axa imaginară.
Exemplu: Dacă z=5-6i, atunci Re(z)=5, Im(z)=-6.
Observație. Numerele complexe care au partea imaginară egală cu 0 sunt numere reale.
Numere complexe egale:
Două numere complexe sunt egale dacă părțile lor reale sunt egale și părțile imaginare sunt de-asemenea, egale.
\large z_1=a_1+b_1i, \ z_2=a_2+b_2i
\large z_1=z_2 \Leftrightarrow a_1=a_2, \ b_1=b_2.
Urmărește videoclipul de mai jos pentru a vedea mai multe exemple și exerciții rezolvate cu numere complexe.
Puterile lui i:
Dacă vom calcula puterile lui i, vom observa că acestea se repetă din 4 în 4, astfel:
\large i^1=i, \ i^2=-1, \ i^3=-i, \ i^4=1.
\large i^{4k}=1, \ i^{4k+1}=i, \ i^{4k+2}=-1, \ i^{4k+3}=-i.
Mai ții minte formulele logaritmilor? Dacă le-ai uitat, le poți vedea aici.
