Media aritmetica, media geometrica

În această lecție vom discuta despre media aritmetica și media geometrica, respectiv media aritmetică ponderată. O să vedem care sunt formulele de calcul și vom rezolva exerciții în care vom aplica aceste formule.

1. Media aritmetică a două sau mai multe numere

Media aritmetică a două numere a și b este egală cu suma celor două numere, împărțită la doi:

m_a=\frac{a+b}{2}

Media aritmetică a n numere este suma numerelor împărțită la numărul lor:

m_a=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

Exerciții rezolvate cu media aritmetică

Exercițiul 1

Calculați media aritmetică a numerelor: 14, 21 și 37.

Rezolvare:

Exercițiul 2

Calculați media aritmetică a numerelor:

Rezolvare:

Exercițiul 3

La un concurs de informatică, elevii trebuie să susțină patru probe. Mihai a obținut la primele trei probe 6 puncte, 8 puncte și 9 puncte. Câte puncte ar trebui să primească la ultima probă, pentru a avea o medie de 8 puncte?

Rezolvare:

2. Media aritmetică ponderată

Media aritmetică ponderată a n numere

având ponderile

se calculează folosind formula:

Exerciții rezolvate cu media ponderata

Exercițiul 1

Un elev a cumpărat 3 caiete cu prețul de 5 lei/buc, 8 caiete cu prețul de 7 lei/buc și 9 caiete cu prețul de 8 lei/buc. Cât a plătit în medie pe un caiet?

Rezolvare:

Prin pondere înțelegem numărul de obiecte care au aceeași valoare/preț. Așadar, trebuie să calculăm media numerelor 5, 7 și 8 cu ponderile 3, 8 și 9.

Pe un caiet a plătit în medie 7,15 lei.

3. Media geometrica a două numere reale

Media geometrică sau media proporțională a două numere pozitive a și b este radical din produsul lor:

m_{g}= \sqrt{a \cdot b} \quad (a,b \geq0)

Exerciții rezolvate cu media geometrică

Exercițiul 1

Calculați media geometrică a numerelor 4 și 9.

Rezolvare:

Exercițiul 2

Calculați media geometrică a numerelor:

\sqrt{48} \quad și \quad \sqrt{12}.

Rezolvare:

m_g=\sqrt{\sqrt{48}\cdot\sqrt{12}}=\sqrt{4\sqrt3\cdot2\sqrt3}=

=\sqrt{8\cdot3}=\sqrt8\cdot\sqrt3=2\sqrt2\cdot\sqrt3=2\sqrt6

Exercițiul 3

Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor:

Rezolvare:

În calculul mediei geometrice am folosit formula de calcul prescurtat:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Exercițiul 4 (extindere)

Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor:

Rezolvare:

Încercăm să aducem numărul y la o formă asemănătoare cu x. Vom rescrie numărul de sub radicalul mare astfel:

Am folosit formula de calcul prescurtat:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Așadar, numărul y va fi egal cu:

deoarece valoarea din modul e negativă:

Acum calculăm media aritmetică a celor două numere:

În continuare vom calcula media geometrică a numerelor x și y.

4. Inegalitatea mediilor

Dacă a și b sunt două numere reale pozitive, atunci are loc următoarea inegalitate:

a\leq m_g \leq m_a \leq b

Vezi și lecția Formule de calcul prescurat.

Test online Media aritmetica și media geometrica

Încearcă să rezolvi acest test cu zece întrebări a câte un punct fiecare. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!

Time's up