În această lecție vom prezenta teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic.
Teorema înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, pătratul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
Sună complicat, dar nu e 🙂 Să privim desenul următor:
Fie ABC un triunghi dreptunghic în A. Catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC. Notăm cu AD înălțimea triunghiului, AD⊥BC. Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este CD. Atunci, conform teoremei înălțimii, are loc relația:
AD2 = BD∙CD.
Această relație se deduce din asemănarea triunghiurilor ADC și BDA (caz de asemănare U.U.).
În continuare vom deduce o altă formulă importantă pentru calculul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.
Înălțimea într-un triunghi dreptunghic se poate exprima și în funcție de laturile triunghiului ABC. Astfel, dacă scriem aria triunghiului ABC în două moduri și egalăm cele două relații, vom avea:
Am obținut astfel că înălțimea unui triunghi dreptunghic este produsul catetelor supra ipotenuză.
Probleme rezolvate cu teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic
Problema 1
Fie MNP un triunghi dreptunghic în M și fie MO⊥NP. Dacă MO=6 cm și OP=9 cm, aflați lungimea ipotenuzei NP.
Rezolvare:
Aplicăm teorema înălțimii MO2 = NO∙OP și vom înlocui lungimile cunoscute MO = 6 și OP = 9:
36=NO ∙ 9 ⟹ NO=36:9=4 cm.
NP = NO+OP = 4+9 = 13 cm.
Problema 2
Aflați înălțimea unui triunghi dreptunghic având catetele de 9 cm, 12 cm și ipotenuza de 15 cm.
Rezolvare:
Notăm cu h înălțimea triunghiului. Atunci h va fi produsul catetelor supra ipotenuză:
Citește și lecția următoare: Teorema catetei.
