Într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC dreptunghic în A și fie AD⊥BC. Catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC. Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este DC. Atunci, conform teoremei catetei, au loc relațiile:

AB2 = BD∙BC
AC2 = DC∙BC.

Prima relație se deduce din asemănarea triunghiurilor ABC și DBA (caz de asemănare U.U.), iar a doua relație se deduce din asemănarea triunghiurilor ABC și DAC (caz U.U.).

Probleme rezolvate cu teorema catetei

Problema 1

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A, cu AB=undefined cm și BC=12 cm. Aflați lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei și perimetrul triunghiului ABC.

Rezolvare:

Pentru a afla înălțimea AD, trebuie mai întâi să aflăm proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Pentru a afla lungimea proiecțiilor BD și CD, vom aplica teorema catetei:

AB2=BD∙BC
(6√3)2=BD ∙ 12
36 ∙ 3=BD ∙ 12 |:12
BD=9 cm.

DC=BC-BD=12-9=3 cm.

Acum aplicăm teorema înălțimii pentru a afla AD:

AD2=BD ∙ DC
AD2=9 ∙ 3=27

Pentru a afla perimetul triunghiului ABC, trebuie mai întâi să calculăm lungimea catetei AC, folosind teorema catetei:

AC2=DC∙BC=12∙3=36
AC=√36=6 cm.

În continuare vom calcula perimetrul triunghiului ABC.

P = AB+BC+AC = 6√3 +12+6 = 18+ 6√3 cm.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.