Ce este un interval? În această lecție o să vedem ce sunt intervalele de numere reale, cum se notează intervalele și apoi vom rezolva exerciții cu intervale. La final ți-am pregătit și un mic test online pentru verificarea cunoștințelor.

Dacă un muzeu are programul de vizitare cuprins în intervalul orar 10-18, înseamnă că acesta se poate vizita începând cu ora 10, dar nu mai târziu de ora 18.
Dacă media unei clase la teza de matematică este cuprinsă în intervalul 7-8, înseamnă că aceasta este mai mare decât 7 și mai mică decât 8. Dar ar putea fi chiar 7? Sau 8? Vom lămuri imediat acest aspect.

Intervale mărginite

Fie a și b două numere reale cu a<b.

Prin intervalul închis [a,b] înțelegem toate numerele reale mai mari sau egale cu a și mai mici sau egale cu b, adică mulțimea:

interval inchis la dreapta si la stanga
Interval închis

Numerele a și b se numesc capetele sau extremitățile intervalului.

Prin intervalul deschis (a,b) înțelegem toate numerele reale mai mari decât a și mai mici decât b, adică mulțimea:

interval deschis la dreapta si la stanga
Interval deschis

Intervalele deschise nu conțin extremitățile a și b.

Și acum să revenim la media clasei. Dacă media este în intervalul (7,8), atunci aceasta este strict mai mare decât 7 și mai mică decât 8. Dacă notăm intervalul astfel: [7,8], atunci media poate fi inclusiv 7 sau 8.

Intervalele pot fi deschise într-o parte și închise în cealaltă. Trebuie doar să avem grijă să scriem paranteza dreaptă atunci când capătul respectiv face parte din interval.

interval inchis la un capat si deschis la celalalt capat

Primul interval este închis la stânga și deschis la dreapta. Al doilea este interval deschis la stânga și închis la dreapta.

Intervale nemărginite

Prin intervalul [a, +∞) înțelegem toate numerele reale mai mari sau egale cu a, adică mulțimea:

interval nemarginit

Prin intervalul (a, +∞) înțelegem toate numerele reale strict mai mari decât a, adică mulțimea:

interval nemarginit

Prin intervalul (-∞,a] înțelegem toate numerele reale mai mici sau egale cu a, adică mulțimea:

interval nemarginit

Prin intervalul (-∞,a) înțelegem toate numerele reale mai mici decât a, adică mulțimea:

interval nemarginit

Exerciții rezolvate cu intervale de numere reale

Exercițiul 1

Stabiliți dacă următoarele propoziții sunt adevărate sau false:

exercitii cu intervale

Rezolvare.
1. F (la 2 avem interval deschis, deci 2 nu face parte din interval);
2. A;
3. F;
4. F;
5. A;
6. A;
7. A;
8. F.

Exercițiul 2

Scrieți sub formă de interval următoarele mulțimi:

exercitii cu intervale

Rezolvare.

Exercițiul 3

Scrieți sub formă de interval mulțimile:

exercitii cu intervale

Rezolvare.
a) Rezolvăm inecuația înmulțind inegalitatea cu 2 pentru a elimina numitorul, apoi scădem 8 pentru a-l afla pe x:

inecuatii, intervale

A=[-14,2].

b) Să ne reamintim interpretarea geometrică a modulului. Modulul unui nr. x este distanța de la originea axei până la punctul având coordonata x. Trebuie să găsim toate numerele reale care au modulul mai mic sau egal cu 3. Acestea sunt numerele cuprinse în intervalul [-3,3], după cum se vede în imaginea de mai jos:

Numerele din porțiunea albastră au modulul mai mic sau egal cu 3

B=[-3,3]

Să reținem că, dacă x este număr real, atunci o inegalitate de forma

|x| ≤ a

se poate rescrie astfel:

axa sau x ∈ [-a,a]

Dacă inegalitatea este strictă: |x|< a, atunci aceasta se poate scrie astfel: -a < x < a și x aparține intervalului deschis (-a,a).

c) |x| < 8
-8 < x < 8
C = (-8,8).

d)

D=[-3,9].

e) Numerele care au modulul mai mare sau egal cu 2 sunt cele pentru care distanța până la originea axei este mai mare sau egală cu 2, adică numerele din porțiunea albastră conform imaginii de mai jos:

Numerele din zona albastră au modulul mai mare sau egal cu 2

Să reținem că, dacă x este număr real, atunci o inegalitate de forma

|x| ≥ a

se poate scrie și astfel:

x ∈ (-∞,a]∪[a,+∞)

Dacă inegalitatea este strictă |x| > a, atunci x aparține intervalului (- ,a) U (a,+ ).

Acum e rândul tău 🙂 Încearcă să rezolvi singur următoarele exerciții.

Temă

Exercițiul 1

Stabiliți dacă următoarele propoziții sunt adevărate sau false:

Exercițiul 2

Scrieți sub formă de interval mulțimile:

exercitii cu intervale

Test online Intervale de numere reale

Acum e rândul tău 🙂 Încearcă să rezolvi acest test cu zece întrebări a câte un punct fiecare. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!

Ești pregătit? Să începem!

1. Adevărat sau fals?
\[3\in [-3,3) \]
Tastați A pentru adevărat și F pentru fals.
2. Adevărat sau fals?
\[7\in [7,+\infty ) \]
Tastați A pentru adevărat și F pentru fals.
3. Adevărat sau fals?
\[3\in \left( \frac{1}{2},\frac{7}{2} \right) \]
Tastați A pentru adevărat și F pentru fals.
4. Scrieți sub formă de interval mulțimea:
\[ A=\{x \in R | -3<x<2 \} \]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. (-3,2]
B. [-3, 2]
C. (2,-3)
D. (-3,2)
5. Scrieți sub formă de interval mulțimea:
\[ A=\{ x \in R | x \leq-7 \} \]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. \[(-7, +\infty)\]
B.  \[ (-\infty,-7] \]
C. \[ (-\infty, 7] \]
D. \[ (-\infty,-7) \]
6. Scrieți sub formă de interval mulțimea:
\[ A=\{x \in R | x \geq-\frac{1}{2} \}\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. \[\left(-\frac{1}{2}, +\infty \right)\]
B. \[\left(\frac{1}{2}, +\infty \right)\]
C. \[\left(-\frac{1}{2}, +\infty \right]\]
D. \[\left[-\frac{1}{2}, +\infty \right)\]
7. Scrieți sub formă de interval mulțimea:
\[ A=\{x\in R ,|x|\leq 9 \}\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. \[\left(-9, +\infty \right)\]
B. \[\left(9, +\infty \right)\]
C. [-9,9]
D. (-9,9)
8. Scrieți sub formă de interval mulțimea:
\[ A=\{x\in R , |x| < 2 \} \]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. \[\left(-2, +\infty \right)\]
B. \[\left(2, +\infty \right)\]
C. [-2,2]
D. (-2,2)
9. Scrieți sub formă de interval mulțimea:
\[A=\{x \in R , |x+3|<2 \}\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. (-5,-1)
B. (-5,0)
C. [0,5]
D. (2,3)


10. Scrieți sub formă de interval mulțimea:
\[ A=\{x \in R , |x-1|\leq5 \}\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. (-5,-1)
B. (-5,0)
C. [-4,6]
D. (-4,6)

Ai ajuns la ultima întrebare, îți mulțumim!



Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.