Cilindrul și sfera

Bun venit! În lecţia aceasta vom discuta despre cilindrul circular drept şi elementele acestuia şi despre aria, volumul cilindrului, aria, volumul sferei.

Cilindrul circular drept

O dreaptă care se rotește în spațiu păstrându-și direcția și care se sprijină pe un cerc, descrie o suprafață cilindrică circulară. Cilindrul circular este un corp mărginit de o suprafață cilindrică și de două plane paralele. Dreapta care generează suprafața cilindrică se numește generatoare. Cele două secțiuni determinate de planele paralele cu suprafața cilindrică se numesc bazele cilindrului. Distanța dintre planele bazelor se numește înălțimea cilindrului. Dacă unghiul format de generatoare cu bazele este unghi drept, atunci se formează un cilindru circular drept.

Conductele de apă sau petrol, cisternele, cazanele de presiune- toate acestea au formă cilindrică.

În continuare o să vedem care sunt elementele cilindrului circular drept și formulele pentru aria cilindrului și volumul cilindrului. Articolul se continuă mai jos cu sfera.

Elementele cilindrului circular drept

• Bazele– sunt două cercuri congruente, cu rază R, situate în plane paralele;
• Generatoarea cilindrului (G)- dreapta care generează suprafața laterală a cilindrului;
• Înălțimea cilindrului (h)- distanța dintre baze. În cazul cilindrului circular drept, înălțimea este egală cu generatoarea h=G.

Dacă notăm cu R razele cercurilor de la baze, atunci suprafața laterală a unui cilindru circular drept se desfășoară după un dreptunghi având lățimea egală cu generatoarea l=G și lungimea egală cu lungimea cercului, adică L=2πR.

Dreapta care unește centrele bazelor unui cilindru este axă de simetrie a cilindrului, iar un plan care conține axa de simetrie se numește plan de simetrie al cilindrului. Secțiunea unui cilindru cu un plan de simetrie se numește secțiune axială. În figura de mai jos, dreapta OO’ este axă de simetrie, iar dreptunghiul ABB’A’ este secțiunea axială a cilindrului.

Aria laterală, aria totală și volumul cilindrului

A_l = 2πRG
A_t = A_l + 2A_b = 2πRG + 2πR² = 2πR(G+R)
V = πR²h

Probleme rezolvate cu cilindru

Problema 1

Aflați aria laterală, aria totală și volumul unui cilindru circular drept cu raza de 5 cm și înălțimea de 8 cm.

Rezolvare:

R = 5 cm, h = G = 8 cm

A_l = 2πRG = 2π∙5∙8 = 80π cm²
A_t = A_l + 2A_b = 2πR(G+R) = 2π∙5(5+8) = 130π cm²

V = πR²h = π∙25∙8= 200π cm³.

Sfera

Sfera de centru O și rază R este mulțimea punctelor din spațiu situate la distanța R față de punctul O.

Aria și volumul sferei

Iată formulele de calcul pentru aria și volumul unei sfere: