Multimea numerelor intregi

În această lecție vom discuta despre numere intregi. O să vedem cum comparăm numerele întregi și ce este opusul și modulul unui numar intreg.

Cu siguranță ați văzut iarna, la prognoza meteo, că unele temperaturi au semnul minus. Aceste temperaturi sunt sub zero grade și din acest motiv le vom numi temperaturi negative (ex: -7℃). În schimb, vara vom avea temperaturi pozitive, deoarece vara temperatura este mai mare de 0 grade (ex: 25℃).

Altitudinea unui loc se măsoară pornind de la nivelul mării. Dealurile și munții au o altitudine pozitivă, iar adâncimile au o altitudine negativă.

Cel mai adânc punct de pe suprafața pământului este Groapa Marianelor, din Oceanul Pacific, având o adâncime/altitudine de aproximativ -11000 metri. Cel mai înalt loc este Vârful Everest, din Munții Himalaya, având +8848 m.

Numerele pozitive împreună cu cele negative și cu numărul zero, formează o mulțime de numere, numită mulțimea numerelor întregi, pe care o vom nota astfel:

Z = {…-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, …}

Numerele întregi pozitive corespund numerelor naturale și scrierea semnului “+” în fața acestora este opțională. 

Introducerea numerelor întregi a fost necesară pentru a putea efectua operația de scădere. În clasele mai mici, la numere naturale, ați învățat că nu putem efectua scăderea 3-10. Însă, în mulțimea numerelor întregi, orice operație de scădere are rezultat.

Compararea și ordonarea numerelor intregi

Pe o dreaptă fixăm un punct O numit origine, o unitate de măsură și un sens pozitiv indicat de săgeată. Punctului O îi corespunde numărul zero. Obținem astfel o axă a numerelor, pe care vom reprezenta câteva numere întregi. Nu le putem reprezenta pe toate, pentru că mulțimea numerelor întregi este infinită.

Sensul de creștere este cel indicat de săgeată. Astfel, numerele întregi care sunt situate la dreapta, sunt mai mari decât cele situate la stânga.

Exemple:

+3>-5

-4>-7

+7>+2

Numere intregi – Opusul unui număr întreg

Numerele întregi care sunt situate la aceeași distanță față de origine se numesc numere întregi opuse. De exemplu, 4 și -4 sunt numere opuse, pentru că ambele sunt situate la o distanță de 4 unități față de zero. Vom spune că numărul 4 (sau +4) este opusul lui -4, iar -4 este opusul lui 4. Alte exemple de numere întregi opuse: -15 și +15; 9 și -9.

Numere intregi – Modulul unui numar intreg

Distanța de la poziția unui punct pe axă până la originea axei, se numește modul sau valoare absolută. Modulul unui număr întreg x se notează astfel: |x|.

Exemple:

|-3|=3

|+18|=18

|0|=0

|16|=16

De reținut! Modulul unui număr întreg este întotdeauna mai mare sau egal cu zero.

Prin urmare, modulul unui număr întreg pozitiv x este chiar x. Iar modulul unui număr întreg negativ –x este egal cu opusul său. Așadar, dacă x > 0 atunci:

|+x|=x

|-x|=-(-x)=+x=x

Numerele întregi opuse sunt egale în modul, dar au semne contrare.

Exemple:

|4|=|-4|=4

|-7|=|+7|=7

Pentru a compara două numere întregi, putem ține cont și de următoarele aspecte:

• dintre două numere întregi pozitive, este mai mare cel cu modulul mai mare (numerele întregi pozitive corespund numerelor naturale); ex: +12>+11;
• dintre două numere întregi negative, este mai mare cel cu modulul mai mic (ex: -5>-7 pentru că |-5|=5, |-7|=7, 5<7;
• orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ (ex: 6>-12);
• 0 este mai mare decât orice număr întreg negativ și mai mic decât orice număr întreg pozitiv (ex: -3<0<2).

În continuare vom rezolva câteva exerciții cu numere întregi, iar la final te invit să rezolvi testul online.

Exerciții rezolvate cu numere intregi

Exercițiul 1:

Un centru comercial are 8 nivele: parter, 5 etaje, un demisol și o parcare subterană. O persoană aflată la etajul 4 coboară 6 nivele. La ce nivel a ajuns?

Rezolvare:

Reprezentăm cele 8 nivele pe o “axă” verticală. O persoană aflată la etajul 4, care coboară 6 nivele, va ajunge la parcarea subterană.

Exercițiul 2:

Calculați:

a) |-12|+|-3|-|+6|;

b) |-32|-|+25|+|0|-|4|;

Rezolvare:

a) |-12|+|-3|-|+6|=12+3-6=9;

b) |-32|-|+25|+|0|-|4|=32-25+0-4=3.

Exercițiul 3:

Aflați numerele întregi x cu proprietatea că |x|=100.

Rezolvare:

Numerele întregi care au modulul egal cu 100 sunt: -100 și 100 (două numere întregi opuse au același modul). Prin urmare x ∈ {-100,100}.

Exercițiul 4:

Adunați opusul lui -15 cu opusul lui -23.

Rezolvare:

opusul lui -15 este +15 (sau 15), iar opusul lui -23 este +23 (sau 23). Așadar vom aduna 15+23=38.

Observație: putem efectua această adunare, chiar dacă nu am învățat încă să adunăm numerele întregi, pentru că numerele întregi pozitive sunt numere naturale, iar adunarea acestora se face după regulile învățate la adunarea numerelor naturale.

Exercițiul 5:

Scrieți în ordine crescătoare următoarele numere:

-23, +18, -15, 0, -9, +20, 14, -6.

Rezolvare:

Ordinea crescătoare este:

-23, -15, -9, -6, 0, 14, +18, +20.

Exercițiul 6:

Într-o săptămână din luna Decembrie s-au înregistrat următoarele temperaturi:

Luni: -8°C
Marți: -5°C
Miercuri: -7°C
Joi: -9°C
Vineri: 0°C
Sâmbătă: 2°C
Duminică: +1°C.

Răspundeți la următoarele întrebări:

a) În ce zi a fost cel mai frig? Dar cel mai cald?

b) În ce zile s-au înregistrat temperaturi negative?

c) În ce zile temperatura a fost mai mare de -3°C?

d) În ce zile temperatura a fost mai mică de -6°C?

Rezolvare:

a) Cea mai mică temperatură a fost joi, -9°C, prin urmare joi a fost cel mai frig. Cea mai mare temperatură a fost sâmbătă 2°C. Cel mai cald a fost sâmbătă.

b) Temperaturi negative s-au înregistrat luni, marți, miercuri, joi.

c) Temperatura a fost mai mare de -3°C vineri, sâmbătă și duminică.

d) Temperatura a fost mai mică de -6°C luni, miercuri și joi.

Test online Mulțimea numerelor întregi

Încearcă să rezolvi acest test cu zece întrebări, fiecare având câte un punct. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!

Time's up