Congruenta triunghiurilor dreptunghice

Bun venit! În această lecţie discutăm despre cazurile de congruenţă ale triunghiurilor dreptunghice.

Despre cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare am discutat într-o altă lecție (vezi lecția aici) și am văzut că pentru a demonstra congruența a două triunghiuri, trebuie să demonstrăm congruența a trei elemente. În cazul triunghiurilor dreptunghice, este suficient să identificăm doar două perechi de elemente congruente (altele în afară de unghiul drept).

Să ne reamintim! Un triunghi este dreptunghic dacă are un unghi drept (cu măsura de 90 de grade). Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză.

Cazurile (criteriile) de congruență ale triunghiurilor dreptunghice

1. Cazul C.C. (catetă-catetă):

Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au catetele respectiv congruente.

2. Cazul C.U. (catetă-unghi):

Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au câte o catetă și câte un unghi ascuțit respectiv congruente.

3. Cazul I.U. (ipotenuză-unghi):

Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au ipotenuzele și câte un unghi ascuțit respectiv congruente.

4. Cazul I.C. (ipotenuză-catetă):

Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au ipotenuzele și câte o catetă respectiv congruente.

Probleme rezolvate – Cazurile de congruenţă ale triunghiurilor dreptunghice. Metoda triunghiurilor congruente

Metoda triunghiurilor congruente este o metodă prin care putem demonstra că două segmente sau două unghiuri sunt congruente. Dacă într-o problemă se cere să arătăm că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, le vom încadra în două triunghiuri a căror congruență o putem demonstra. Din congruența celor două triunghiuri va rezulta congruența segmentelor / unghiurilor cerute.

Problema 1

Fie ABC un triunghi isoscel cu AB≡AC și fie AM⊥BC. Arătați că ∡ABM ≡ ∡ACM.

Rezolvare:

Dacă AM⊥BC, atunci triunghiurile ABM și ACM sunt dreptunghice și vom arăta că acestea sunt congruente.

Acesta este un rezultat important și ar fi bine să-l reținem:

Într-un triunghi isoscel, unghiurile alăturate bazei sunt congruente.

Problema 2

Fie ABC un triunghi isoscel cu AB≡AC și fie M mijlocul laturii BC. Ducem MP⊥AB și MQ⊥AC. Arătați că PB ≡ QC.

Rezolvare:

Triunghiurile MPB și MQC sunt dreptunghice și vom arăta că acestea sunt congruente. În rezolvarea acestei probleme vom folosi rezultatul demonstrat anterior: triunghiul isoscel ABC are unghiurile de la bază congruente: ∡B≡∡C.