Unghiuri formate de drepte paralele cu o secantă

În această lecție vom discuta despre unghiuri formate de drepte paralele cu o secanta și criterii de paralelism.

Fie a și b două drepte oarecare. O secantă este o dreaptă care intersectează cele două drepte în două puncte. Dreptele a și b formează cu secanta s opt unghiuri, ca în figura de mai jos:

Unghiurile determinate de două drepte cu o secantă au următoarele denumiri:

• ∡3 și ∡5, ∡4 și ∡6 se numesc alterne interne;
• ∡1 și ∡7, ∡2 și ∡8 se numesc alterne externe;
• ∡2 și ∡6, ∡3 și ∡7, ∡1 și ∡5, ∡4 și ∡8 se numesc corespondente;
• ∡3 și ∡6, ∡4 și ∡5 se numesc interne (de aceeași parte a secantei);
• ∡2 și ∡7, ∡1 și ∡8 se numesc externe (de aceeași parte a secantei).

Cu ajutorul acestor unghiuri putem enunța criterii de paralelism. Criteriile de paralelism sunt teoreme care ne ajută să stabilim dacă două drepte sunt paralele.

Criterii de paralelism

Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Alte criterii de paralelism:

• Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele.
• Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt paralele.
• Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
• Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri externe de aceeași parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

Sunt valabile și reciprocele acestor teoreme, foarte utile în rezolvarea problemelor cu unghiuri determinate de drepte paralele cu o secantă:

Unghiuri formate de drepte paralele cu o secanta

Fie a și b două drepte paralele, tăiate de o secantă, ca în figura de mai jos:

De reținut! Dacă două drepte paralele a și b sunt tăiate de o secantă s, atunci ele formează:

• unghiuri alterne interne congruente: ∡3 ≡ ∡5, ∡4 ≡ ∡6;
• unghiuri alterne externe congruente: ∡1 ≡ ∡7, ∡2 ≡ ∡8;
• unghiuri corespondente congruente: ∡2 ≡ ∡6, ∡3 ≡ ∡7, ∡1 ≡ ∡5, ∡4 ≡ ∡8;
• unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare:
  ∡3+∡6=180^o, ∡4+∡5=180^o;
• unghiuri externe de aceeași parte a secantei suplementare:
  ∡2+∡7=180^o, ∡1+∡8=180^o.

Probleme rezolvate cu drepte paralele intersectate de o secantă

Problema 1

În figura de mai jos, dreptele a și b sunt paralele și ∡1=62°. Aflați celelalte unghiuri.

Rezolvare:

∡1, ∡5 corespondente ⇒ ∡5 = ∡1 = 62°.
∡4, ∡5 interne de aceeași parte a secantei ⇒ ∡4 + ∡5 = 180° ⇒ ∡4 = 180° – 62° = 118°.
∡4, ∡8 corespondente ⇒ ∡8 = ∡4 = 118°.
∡3, ∡5 alterne interne ⇒ ∡3 = ∡5 = 62°.
∡4, ∡6 alterne interne ⇒ ∡6 = ∡4 = 118°.
∡2, ∡6 corespondente ⇒ ∡2 = ∡6 = 118°.
∡3, ∡7 corespondente ⇒ ∡7 = ∡3 = 62°.

Observație. Acesta nu este singurul mod de rezolvare a problemei. Putem ține cont de faptul că în figura de mai sus avem și unghiuri opuse la vârf congruente (de exemplu ∡1 și ∡3) sau alte unghiuri suplementare (de exemplu ∡1 și ∡4).

Problema 2

Aflați unghiul x din figura de mai jos.

Rezolvare:

∡AOB= ∡OMC= x (unghiuri corespondente).
∡OMC și ∡CMD sunt unghiuri adiacente suplementare ⇒ ∡OMC + ∡CMD = 180°
x+(4x+20°)=180°
x+4x+20°=180°
x+4x=180° -20°
x(1+4)=160°
5x=160°
x=160°:5
x=32°.

Citește și lecția: Drepte paralele, axioma paralelelor.

Test online Unghiuri formate de drepte paralele cu o secanta