Unghi diedru. Unghiul a doua plane

Bun venit! În această lecţie discutăm despre unghiul diedru – unghiul a două plane.

Unghiul diedru este figura formată de două semiplane mărginite de o dreaptă comună. Această dreaptă se numește muchia diedrului. De exemplu, dacă avem o coală de hârtie și o îndoim la mijloc, obținem un diedru. Iată un alt exemplu, în figura de mai jos (planele α și β, cu dreapta comună AB) :

Unghiul a două plane

În cele ce urmează o să vedem cum obținem unghiul a două plane sau unghiul plan corespunzător unghiului diedru.

Fie α și β două plane și notăm cu d muchia comună. Dintr-un punct M al dreptei d, ducem două perpendiculare AM și BM pe această muchie. Perpendiculara AM este conținută în planul α, iar BM este conținută în planul β. Unghiul AMB astfel obținut se numește unghi plan al unghiului diedru. Mărimea unghiului plan nu depinde de poziția punctului M pe muchie, acesta poate fi ales arbitrar pe dreapta d.

∡(α,β) = ∡(AM, BM)= ∡AMB.

Așadar, când trebuie să aflăm unghiul dintre doua plane, identificăm mai întâi muchia comună. Apoi alegem un punct pe această muchie și ridicăm două perpendiculare, una situată într-un plan și alta în celălalt plan.

Două plane secante formează patru unghiuri diedre, iar măsura unghiului diedru va fi cea mai mică dintre acestea (se alege unghiul ascuțit, nu cel obtuz).

• Dacă două plane sunt paralele, atunci măsura unghiului dintre ele este de 0 grade.

• Dacă două plane sunt perpendiculare, atunci măsura unghiului dintre ele este de 90 de grade.

Probleme rezolvate cu unghiul diedru – unghiul a două plane.

Problema 1:

Fie SABCD o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei AB=12 cm și înălțimea

Aflați măsura unghiului dintre planele (SBC) și (ABC).

Rezolvare:

(SBC)∩(ABC)=BC. (1)

Fie SM ⊥ BC (2) ⟹ M mijlocul lui BC (pentru că triunghiul SBC este isoscel, iar înălțimea este și mediană).
Dacă M este mijlocul lui BC, atunci OM este linie mijlocie în triunghiul CAB ⟹ OM||AB, dar AB ⊥ BC ⟹ OM ⊥ BC (3).
Din (1), (2), (3) ⟹ ∡((SBC), (ABC))=∡(SM, OM)=∡SMO.

Calculăm tangenta unghiului SMO din triunghiul dreptunghic SOM, cu OM=AB/2=6 cm.

Unghiul SMO are măsura egală cu 60°.

Problema 2:

Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile

Aflați:

a) Măsura unghiului dintre planele (D’DA) și (D’DB).

b) Măsura unghiului dintre planele (C’BA) și (ABC).

Rezolvare:

a)

(D’DA)∩(D’DB)=D’D (1)

DD’⊥AD (2) și DD’⊥DC ⟹ DD’⊥(ADC).
DB⊂(ADC) ⟹ DD’ ⊥ DB (3)

(1), (2), (3) ⟹ ∡((D’DA),(D’DB))=∡(AD, DB)= ∡(ADB).

Triunghiul ADB este dreptunghic în A și putem calcula tangenta unghiului ADB (cunoaștem catetele).

Măsura unghiului ADB este de 60°.

b)

(C’BA)∩(ABC)=AB (1)

AB⊥BC (2) și AB⊥BB’⟹AB⊥(B’BC)

BC’⊂(B’BC) ⟹ AB⊥BC’ (3)

Din (1), (2), (3) ⟹ ∡((C’BA),(ABC))=∡(BC,BC’)=∡C’BC.

Vom calcula tangenta unghiului C’BC din triunghiul C’BC, dreptunghic în C:

Măsura unghiului C’BC este de 30°.