Teorema catetei

Bine ai venit! În această lecţie vom învăţa teorema catetei în triunghiul dreptunghic.

Teorema catetei: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC dreptunghic în A și fie AD⊥BC. Catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC. Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este DC. Atunci, conform teoremei catetei, au loc relațiile:

AB² = BD∙BC
AC² = DC∙BC.

Prima relație se deduce din asemănarea triunghiurilor ABC și DBA (caz de asemănare U.U.), iar a doua relație se deduce din asemănarea triunghiurilor ABC și DAC (caz U.U.).

Teorema catetei în triunghiul dreptunghic – Probleme rezolvate

Problema 1

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A, cu AB= cm și BC=12 cm. Aflați lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei și perimetrul triunghiului ABC.

Rezolvare:

Pentru a afla înălțimea AD, trebuie mai întâi să aflăm proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Pentru a afla lungimea proiecțiilor BD și CD, vom aplica teorema catetei:

AB²=BD∙BC
(6√3)²=BD ∙ 12
36 ∙ 3=BD ∙ 12 |:12
BD=9 cm.

DC=BC-BD=12-9=3 cm.

Acum aplicăm teorema înălțimii pentru a afla AD:

AD²=BD ∙ DC
AD²=9 ∙ 3=27

Pentru a afla perimetul triunghiului ABC, trebuie mai întâi să calculăm lungimea catetei AC, folosind teorema catetei:

AC²=DC∙BC=12∙3=36
AC=√36=6 cm.

În continuare vom calcula perimetrul triunghiului ABC.

P = AB+BC+AC = 6√3 +12+6 = 18+ 6√3 cm.