Modulul unui numar real

Modulul unui numar real x (sau valoarea absoluta a numărului x) se notează |x| și este definit astfel:

Proprietățile modulului:

Exemple:

|3|=3

|-3|=-(-3)=3

|-0,85|=-(-0,85)=0,85

Interpretarea geometrică a modulului

Din punct de vedere geometric, modulul unui număr real x reprezintă distanța de la originea axei până la punctul având coordonata x.

Exercitii rezolvate cu modulul unui numar real

Exercițiul 1:

Calculați:

Rezolvare:

Trebuie să verificăm dacă valoarea din modul este pozitivă sau negativă. Dacă este pozitivă, atunci rezultatul va fi chiar expresia din modul. Dacă e negativă, se schimbă semnul expresiei din modul.

Exercițiul 2:

Determinați numărul real x, știind că:

Rezolvare:

Dacă |x|=a, atunci x poate lua valorile –a sau a.

Exercițiul 3:

Determinați numerele reale x și y știind că:
a) |2x-4|+|y+5|=0;
b) |x+y|+|x-y+6|=0.

Rezolvare:

Suma a două module este egală cu zero dacă ambele module sunt zero. Egalăm fiecare modul cu zero și rezolvăm ecuatiile astfel obținute.
a)|2x-4|=0
2x-4=0
2x=4
x=2
|y+5|=0
y+5=0
y=-5.
b) |x+y|=0
x+y=0
x=-y
|x-y+6|=0
x-y+6=0
Înlocuim în ultima ecuație pe x cu -y și obținem:
–y-y+6=0
-2y+6=0
-2y=-6
y=3
x=-3.

Exercițiul 4:

Determinați elementele mulțimilor:

Rezolvare:

a) Trebuie să găsim toate numerele intregi care au modulul mai mic sau egal cu patru. Așa cum am spus la începutul articolului, modulul unui număr reprezintă distanța de la origine până la poziția punctului pe axa numerelor. Numerele intregi pentru care distanța până la origine este mai mică sau egală cu patru pot fi situate la stânga și la dreapta lui zero și acestea sunt: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

În general, inegalitatea

|x| ≤ a

se poate rescrie astfel:

–a ≤ x ≤ a

Așadar mulțimea A={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

b) Folosim inegalitatea de mai sus (dar de data aceasta avem inegalitate strictă) și vom scrie:

|x-3| < 7
-7 < x-3 < 7 | +3 (adunăm 3)
-7+3 < x < 7+3
-4 < x < 10
x poate fi -3, -2, -1, 0 , 1, …, 9. (Atenție! x nu poate fi -4 sau 10 pentru că avem inegalitate strictă).
B={-3, -2, -1, 0, 1, …, 9}.

Observație. Dacă x ar fi fost număr real, atunci mulțimile A și B se scriau sub formă de interval.

Citește și lecția Operații cu radicali.

Test online Modulul unui numar real

Încearcă să rezolvi singur acest test cu zece întrebări, fiecare având câte un punct. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!

Time's up