Fie x un număr real. Modulul sau valoarea absoluta a numărului x se notează |x| și este definit astfel:

explicitarea modulului
Modulul numărului real x

Proprietățile modulului:

proprietatile modulului
Proprietățile modulului

Exemple:
|3|=3;
|-3|=-(-3)=3;
|-0,85|=0,85.

Interpretarea geometrică a modulului

Din punct de vedere geometric, modulul unui număr real x reprezintă distanța de la originea axei până la punctul având coordonata x.

Exercitii rezolvate cu modulul unui număr real

Exercițiul 1:

Calculați:

exercitii-modul

Rezolvare. Trebuie să verificăm dacă valoarea din modul este pozitivă sau negativă. Dacă este pozitivă, atunci rezultatul va fi chiar expresia din modul. Dacă e negativă, se schimbă semnul expresiei din modul.

Exercițiul 2:

Determinați numărul real x, știind că:

Rezolvare. Dacă |x|=a, atunci x poate lua valorile –a sau a.

Exercițiul 3:

Determinați numerele reale x și y știind că:
a) |2x-4|+|y+5|=0;
b) |x+y|+|x-y+6|=0.

Rezolvare. Suma a două module este egală cu zero dacă ambele module sunt zero. Egalăm fiecare modul cu zero și rezolvăm ecuatiile astfel obținute.
a)|2x-4|=0
2x-4=0
2x=4
x=2
|y+5|=0
y+5=0
y=-5.
b) |x+y|=0
x+y=0
x=-y
|x-y+6|=0
x-y+6=0
Înlocuim în ultima ecuație pe x cu -y și obținem:
y-y+6=0
-2y+6=0
-2y=-6
y=3
x=-3.

Exercițiul 4:

Determinați elementele mulțimilor:

Rezolvare. a) Trebuie să găsim toate numerele intregi care au modulul mai mic sau egal cu patru. Așa cum am spus la începutul articolului, modulul unui număr reprezintă distanța de la origine până la poziția punctului pe axa numerelor. Numerele intregi pentru care distanța până la origine este mai mică sau egală cu patru pot fi situate la stânga și la dreapta lui zero și acestea sunt: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Numerele întregi care au modulul mai mic sau egal cu patru

În general, inegalitatea

|x| ≤ a

se poate rescrie astfel:

axa

Așadar mulțimea A={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

b) Folosim inegalitatea de mai sus (dar de data aceasta avem inegalitate strictă) și vom scrie:

|x-3| < 7
-7 < x-3 < 7 | +3 (adunăm 3)
-7+3 < x < 7+3
-4 < x < 10
x poate fi -3, -2, -1, 0 , 1, …, 9. (Atenție! x nu poate fi -4 sau 10 pentru că avem inegalitate strictă).
B={-3, -2, -1, 0, 1, …, 9}.

Observație. Dacă x ar fi fost număr real, atunci mulțimile A și B se scriau sub formă de interval.

Test online Modulul unui număr real

Încearcă să rezolvi singur acest test cu zece întrebări, fiecare având câte un punct. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!

Ești pregătit? Să începem!

1. |−3,82|=?
2. \[|2-\sqrt{5}|=?\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. \[2-\sqrt{5}\]
B. \[-2-\sqrt{5}\]
C. \[\sqrt{5}-2\]
D. \[2+\sqrt{5}\]


3. \[|3-\sqrt{8}|=?\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. \[3-\sqrt{8}\]
B. \[-3-\sqrt{8}\]
C. \[\sqrt{8}-3\]
D. \[3+\sqrt{8}\]


4. Aflați numărul real x știind că |x|=7.
A. \[x \in \{−7,7\}\]
B. \[x=7\]
C. \[x=−7\]
D. \[x \in \{−7,0,7\} \]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect.


5. Aflați numărul real x știind că \[ |x|=\sqrt{17}\]
A. \[x \in \{-\sqrt{17}, \sqrt{17} \}\]
B. \[x=17\]
C. \[x=−17\]
D. \[x= \sqrt{17}\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect.
6. Aflați numărul real x știind că |x-2|=3.
A. \[x \in \{1,5\}\]
B. \[x \in \{1,-5\}\]
C. \[x \in \{3,5\}\]
D. \[x \in \{-1,5\}\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect.


7. Aflați numerele a și b știind că:
|a−5| + |a+b| = 0


8. Aflați numerele x și y știind că
|3x−6| + |y+4| = 0.


9. Determinați elementele mulțimii:
\[ M = \{x \in Z | |x|<4\} \]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. M = {0, 1, 2, 3, 4}
B. M = {0, 1, 2, 3 }
C. M = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
D. M = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
10. Determinați elementele mulțimii 
\[M = \{x \in Z | |x-2|<5\}\]
Tastați litera corespunzătoare răspunsului corect:
A. M = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
B. M = {-3, -2, -1 ,0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C. M = {-3, -2, -1, 0}
D. M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}



Ai ajuns la ultima întrebare, îți mulțumim!



Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.