Proportii

În această lecție vom discuta despre proporții.

O proporție este o egalitate între două rapoarte:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, \quad b,d \neq0.

Numerele a, b, c, d se numesc termenii proporției. Mai exact, numerele a și d se numesc extremi, iar b și c se numesc mezi.

Exemplu:

\frac{6}{2}=\frac{15}{5}.

Cele două rapoarte au aceeași valoare pentru că 6:2=3 și 15:5=3.

Proporțiile sunt des utilizate în viața de zi cu zi. De exemplu, un telescop sau un microscop modifică imaginile făcându-le mai ușor de vizualizat, dar raportul dintre dimensiunile imaginilor rămâne același.
O mare parte din ecranele TV sau ecranele de cinema au raportul dintre lățime și înălțime egal cu raportul 16:9, pentru că acesta este raportul de aspect standard pentru imaginea de înaltă calitate. Astfel, un ecran având dimensiunile de 224 cm x 126 cm păstrează raportul 16:9 (224:126=1,77 și 16:9=1,77).
Proporțiile se folosesc și în arhitectură sau la întocmirea hărților (vezi problema nr. 3 cu scara hartii).

Putem obține proporții prin amplificarea sau simplificarea unui raport cu un număr dat.

Proprietatea fundamentală a proporțiilor

În orice proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}  \Leftrightarrow a\cdot d=b \cdot c 

b,d \neq0

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție

Pentru a afla un termen necunoscut x dintr-o proporție vom folosi proprietatea fundamentală a proporțiilor. Astfel, vom înmulți pe diagonală, apoi împărțim egalitatea la coeficientul lui x (adică la numărul din fața lui x 🙂 ).

Exemplu:

Urmăreşte acest video ce conţine exerciţii rezolvate cu proporţii. Articolul se continuă mai jos cu proporţii derivate.

Proporții derivate

Pornind de la o proporție dată, putem obține alte proporții folosind anumite procedee. Aceste proporții se vor numi proporții derivate. Să considerăm proporția

\frac{3}{7}=\frac{6}{14}

Dacă schimbăm mezii între ei, se obține o proporție derivată, având aceiași termeni:

\frac{3}{6}=\frac{7}{14}

Putem de-asemenea să schimbăm extremii între ei sau să inversăm rapoartele și vom obține alte proporții derivate, având aceiași termeni ca și proporția inițială.

Există și alte procedee prin care putem obține proporții derivate cu alți termeni. De exemplu, dacă la proporția inițială adunăm numărătorii la numitori, vom obține următoarea proporție:

\frac{3}{3+7}=\frac{6}{6+14}

\frac{3}{10}=\frac{6}{20}

Așadar, procedeele prin care putem obține proporții derivate sunt următoarele:

• schimbăm mezii între ei;
• schimbăm extremii între ei;
• inversăm rapoartele;
• adunăm numitorii la numărători;
• adunăm numărătorii la numitori;
• înmulțim sau împărțim numitorii cu același număr (diferit de zero);
• înmulțim sau împărțim numărătorii cu același număr (diferit de zero);
• amplificăm rapoartele;
• scădem numărătorii din numitori;
• scădem numitorii din numărători;
• egalăm fiecare raport cu raportul dintre diferența numărătorilor și diferența numitorilor.

În continuare vom rezolva câteva exerciții cu proporții, apoi te invit să rezolvi testul online.

Exerciții și probleme rezolvate cu proporții

Exercițiul 1

Aflați necunoscuta x din proporția de mai jos:

Rezolvare: folosim proprietatea fundamentală a proporțiilor (înmulțim pe diagonală):

Exercițiul 2

Aflați raportul numerelor a și b știind că

Rezolvare:

Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor (vom înmulți pe diagonală):

Separăm cele două necunoscute, astfel: trecem în partea dreaptă termenii care conțin a și în partea stângă termenii care conțin b. Atunci când trecem un termen dintr-o parte în alta a egalului, se schimbă semnul acestuia.

Exercițiul 3

Scara unei hărți este 1 : 200000. Dacă distanța pe hartă între două localități este de 15 cm, aflați distanța reală (pe teren) dintre cele două localități.

Rezolvare:

Scara unei harti este raportul dintre distanța pe hartă și distanța pe teren.

Dacă scara este 1 : 200 000, înseamnă că la 1 cm pe hartă îi corespund 200 000 cm pe teren, adică 2 km (200 000 cm = 2 km).

Cu datele problemei, se poate forma următoarea proporție (unde x este distanța pe teren dintre cele două localități):

Așadar distanța pe teren între cele două localități este de 30 km.

Test online Proporții

Încearcă să rezolvi acest test cu zece întrebări, fiecare întrebare având câte un punct. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!

Time's up