Un număr natural a este divizibil (se divide) cu un număr natural b, dacă a se împarte exact la b (avem o împărțire cu rest zero).
Aceasta nu este o definiție riguroasă, este o definiție care îmi place mie 🙂

Numărul a se numește multiplul lui b, iar b se numește divizor al lui a.

Relația de divizibilitate se poate scrie în două moduri:

  • ab (citim a este divizibil cu b)
  • b|a (citim b divide a)

Exemplu:

12 este divizibil cu 4 pentru că 12 se împarte exact la 4 (12:4=3);
12 ⋮ 4
4|12
Numărul 12 este multiplul lui 4, iar 4 este divizor al lui 12.

Numărul 12 mai are și alți divizori în afară de 4? Mai există și alte numere la care 12 să se împartă exact?
Da. Acestea sunt 1, 2, 3, 6 și 12.

Mulțimea divizorilor naturali ai unui număr n se notează Dn, iar mulțimea multiplilor unui număr n se notează Mn.

Exemple:

Mulțimea divizorilor naturali ai lui 12 este: D12 ={1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Mulțimea multiplilor naturali ai numărului 4 este: M4 ={0, 4, 8, 12, 16, …}.

Observație. Numărul 1 este divizor pentru orice număr natural (pentru că orice număr natural se împarte exact la 1), iar numărul 0 este multiplu pentru orice număr natural (pentru că zero se împarte la orice număr natural).

Numere prime. Numere compuse

Un număr natural p ≥ 2 se numește număr prim, dacă nu mai are alți divizori în afară de 1 și p. Cu alte cuvinte, un număr este prim dacă are ca divizori doar pe 1 și pe el însuși. Singurul număr prim par este 2. Iată numerele prime până la 30:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Un număr care nu este prim se numește număr compus.

Exerciții rezolvate- divizibilitate

1. Scrieți mulțimea divizorilor numărului 30.

Rezolvare. D30 ={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

2. Scrieți mulțimea multiplilor lui 9, mai mici decât 100.

Rezolvare. M9= {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99}.

3. Scrieți elementele mulțimii D18 ∩ D24.

Rezolvare.
D18 ={1, 2, 3, 6, 9, 18};
D24={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24};
D12 ∩ D24 ={1, 2, 3, 6}.

4. Arătați că numărul N este divizibil cu 36, unde N este:

Rezolvare. Folosind proprietățile puterilor, numărul N se poate scrie astfel:

Am arătat astfel că N este multiplu de 36 (pentru că N este un produs în care unul din factori este 36). În consecință, N este divizibil cu 36.

5. Aflați elementele mulțimii:

Rezolvare. Fracția 5/(x+1) este număr natural dacă 5 se împarte exact la x+1. Asta înseamnă că x+1 trebuie să fie divizor al lui 5. Așadar,

În continuare, egalăm x+1 cu 1 și 5, de unde vom afla termenul necunoscut x:

x+1 = 1 ⟹ x = 1-1 ⟹ x = 0
x+1 = 5 ⟹ x = 5-1 ⟹ x = 4
A={0,4}.

Test online Divizori, multipli, numere prime

Te invit să rezolvi acest test cu zece întrebări, fiecare întrebare având câte un punct. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, vei primi 10 puncte. Succes!

Ești pregătit? Să începem!

1. Care este numărul prim?
7, 8, 9, 10
2. Care este numărul prim?
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
3. Ce număr este multiplu pentru orice număr natural?
4. Mulțimea divizorilor naturali ai numărului 6 este:
(selectați răspunsul corect)
5. Mulțimea divizorilor naturali ai numărului 19 este:
(selectați răspunsul corect)
6. Mulțimea divizorilor naturali ai numărului 32 este:
(selectați răspunsul corect)
7. Mulțimea multiplilor lui 8, mai mici decât 50, este:
(selectați răspunsul corect)
8. Mulțimea multiplilor lui 12, mai mici decât 100, este:
(selectați răspunsul corect)
9. Numărul N = 2n+1+5·2n  (n>0) este divizibil cu 2 și cu ....

10. Aflați elementele mulțimii:
\[A=\{x∈N|\frac{7}{x-1}∈N\}\]



Ai ajuns la ultima întrebare, îți mulțumim!



Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.