Pentru a putea defini noțiunea de unghi, trebuie mai întâi să știm ce este o semidreaptă.

O semidreaptă este o porțiune dintr-o dreaptă, mărginită la un capăt. Cu alte cuvinte, o semidreaptă este formată din toate punctele unei drepte care se găsesc de aceeași parte a unui punct M situat pe dreaptă.

Așadar, o semidreaptă „pornește” dintr-un punct fix, numit origine (în cazul de față punctul M) și este nemărginită la celălalt capăt. Ca să înțelegem mai bine ce este o semidreaptă, ne putem gândi la un Laser, care emite o rază de lumină ce pornește dintr-un punct:

Spectacol de Lasere
Foto credit: Pixabay

Gata cu spectacolele, să revenim la unghiuri 🙂

Un unghi este o figură geometrică formată din două semidrepte cu aceeași origine.

Cele două semidrepte formează laturile unghiului, iar originea lor comună este vârful unghiului.

În figura de mai sus avem unghiul AOB, pe care-l vom nota astfel: ∡AOB sau ∡O. Vârful unghiului este punctul O, iar laturile unghiului sunt semidreptele OA și OB. Atunci când notăm un unghi cu trei litere, trebuie să avem grijă ca litera din mijloc să fie întotdeauna vârful unghiului. Așadar, corect este ∡AOB și nu ∡ABO.

Măsurarea unghiurilor

Unghiurile se măsoară în grade, unitatea de măsură fiind gradul sexagesimal. Atunci când măsurăm unghiurile, măsurăm deschiderea dintre cele două laturi și nu lungimea acestora, pentru că laturile unghiurilor pot fi prelungite la nesfârșit (fiind semidrepte).

Un grad (°) are 60 de minute (‘), iar un minut are 60 de secunde (”):

1°=60′ și 1’=60”

Instrumentul cu care măsurăm unghiurile se numește raportor. Se așază raportorul astfel încât vârful unghiului să fie în centrul raportorului, iar o latură a unghiului să fie în dreptul gradației cu 0 grade, apoi verificăm la câte grade este cealaltă latură. Unghiul MON din figura de mai jos are măsura de 50 de grade și vom scrie astfel: ∡MON = 50° sau m(∡MON) = 50°.

Foto credit: Pixabay

Două unghiuri care au aceeași măsură se numesc unghiuri congruente.

Clasificarea unghiurilor

Un unghi cu măsura de 90 de grade se numește unghi drept, iar clasificarea unghiurilor se face prin compararea lor cu acest unghi. Astfel, în funcție de măsura lor, unghiurile pot fi:

  • unghiuri ascuțite- cu măsura mai mică de 90°
  • unghiuri drepte- cu măsura egală cu 90°
  • unghiuri obtuze- cu măsura mai mare de 90°.

Dacă laturile unui unghi sunt în prelungire pe aceeași dreaptă suport (adică sunt semidrepte opuse), atunci unghiul se numește unghi alungit, iar un astfel de unghi are măsura egală cu 180 de grade.

Exerciții rezolvate cu unghiuri

Aflați măsura unghiului x din figurile de mai jos:

Exercițiul 1:

Rezolvare:

∡AOC = 90°, ∡BOC = 27°

x = ∡AOB = ∡AOC – ∡BOC = 90°-27° = 63°.

Exercițiul 2:

Rezolvare:

Observăm că unghiul COD este drept, iar unghiul AOB este alungit, prin urmare acesta are măsura egală cu 180°. Se mai observă că unghiurile AOC și DOB sunt congruente, având aceeași măsură x. Prin urmare:

x = ∡AOC = ∡DOB = (180° – 90°) : 2 = 90° : 2 = 45°.

Exercițiul 3:

Rezolvare:

∡COB = ∡AOB – ∡AOC = 180° – 60° = 120°

∡COB = ∡COD + ∡DOB = 3x+x = 4x = 120°

x = 120°:4 = 30°.

Operații cu măsuri de unghiuri

1. Adunarea

Pentru a aduna măsurile a două unghiuri, vom proceda astfel: adunăm gradele cu grade, minutele cu minute și secundele cu secunde. Dacă obținem mai mult de 60 de secunde, atunci le transformăm în minute (și le adunăm cu minutele deja existente), iar dacă obținem mai mult de 60 de minute, le transformăm în grade (și le adunăm la gradele existente). Ținem cont că 1°=60′, iar 1’=60”.

Exemplu:

25°52’16” + 34°23’48” = 60°16’4”

2. Scăderea

Pentru a scădea măsurile a două unghiuri, vom proceda astfel: se scad gradele din grade, minutele din minute și secundele din secunde. Dacă nu avem suficiente secunde, vom „împrumuta” un minut pe care-l vom transforma în secunde, iar dacă nu avem suficiente minute, vom „împrumuta” un grad pe care-l transformăm în minute.

Exemplu:

Pentru a calcula 45°12’33” – 25°40’46”, observăm că la descăzut avem mai puține minute și secunde decât la scăzător. Și atunci luăm un minut din cele 12 minute de la descăzut, îl transformăm în 60 de secunde și le adunăm la celelalte 33 de secunde, obținând astfel 93 de secunde. Ne rămân astfel 11 minute la descăzut. Apoi luăm un grad din cele 45 pe care-l vom transforma în 60 de minute și le adunăm cu cele 11 minute. Astfel vom avea 71 de minute, iar la grade ne-au rămas 44.

45°12’33” – 25°40’46” = 44°71’93” – 25°40’46” = 19°31’47”

3. Înmulțirea cu un număr natural

Pentru a înmulți măsura unui unghi cu un număr natural, vom înmulți gradele, minutele și secundele cu acel număr. Dacă la rezultat obținem mai mult de 60 de secunde, atunci le transformăm în minute (și le adunăm cu minutele deja existente), iar dacă obținem mai mult de 60 de minute, le transformăm în grade (și le adunăm cu gradele, așa cum am făcut în exercițiul de la adunare).

Exemplu:

5 ∙ 14°23’15” = 70°115’75” = 70°116’15” = 71°56’15”

4. Împărțirea la un număr natural

Pentru a împărți măsura unui unghi la un număr natural, vom împărți mai întâi gradele la acel număr. Dacă rămâne rest, îl transformăm în minute și le adunăm la minutele existente deja. Apoi împărțim minutele la numărul natural. Dacă rămâne rest, se transformă în secunde și se adună cu secundele existente. Apoi împărțim secundele la numărul natural.

Exemplu:

25°26’52” : 2 = 12°43’26”

25° : 2 = 12° rest 1°

1° = 60′

60′ + 26′ = 86′

86′ : 2 = 43′

52″ : 2 = 26″.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.