Model de teză pentru clasa a VIII-a, semestrul II

Lucrare scrisă la matematică pe semestrul II
An școlar 2019-2020

Subiectul I (30 puncte). Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. (5p) Fie f : R⟶R, f(x) = 2x+6. Atunci f(-2) este ….

2. (5p) Soluția ecuației 2x-3 = 7 este …

3. (5p) Soluția inecuației x+5 ≤ 1 este ….

4. (5p) Aria totală a unui cub cu latura de 3 cm este …. cm².

5. (5p) Dacă ABCDA’B’C’D’ este un cub cu latura de 5 cm, atunci distanța de la A’ la BC este … cm.

6. (5p) Dacă muchia unui tetraedru regulat este de 6 cm, atunci suma tuturor muchiilor este … cm.

Subiectul II (30 puncte). Pe foaia de teză se trec rezolvările complete.

7. (5p) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

8. Fie expresia:

(5p) a) Aduceți expresia E(x) la forma cea mai simplă.

(5p) b) Calculați E(-10).

9. Fie funcția f : R⟶R, f(x) = x – 4.

(5p) a) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de axe de coordonate xOy.

(5p) b) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f și cele două axe Ox și Oy.

(5p) c) Aflați numărul real m, astfel încât punctul de coordonate M(m, 2m-7) să aparțină graficului funcției.

Subiectul III (30 puncte). Pe foaia de teză se trec rezolvările complete.

10. O prismă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ are înălțimea AA’=10 cm și diagonala unei fețe laterale egală cu cm. Calculați:

(5p) a) Aria laterală a prismei.

(5p) b) Volumul prismei.

(5p) c) Distanța de la punctul A’ la latura BC.

11. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei de 10 cm și înălțimea de 12 cm. Calculați:

(5p) a) Aria totală a piramidei.

(5p) b) Volumul piramidei.

(5p) c) Sinusul unghiului diedru format de planele (VAB) și (VDC).

Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

Rezolvarea tezei

Subiectul I

1. f(-2)=2∙(-2)+6=2. Răspuns: 2.

2. 2x-3=7 ⟹2x=10 ⟹x=2. Răspuns: 5.

3. x+5 ≤ 1 ⟹ x ≤ -4 ⟹ x∈(-∞,-4]. Răspuns: (-∞,-4].

4. A = 6l² = 6∙3² = 54 cm². Răspuns: 54.

5. AA’⊥AB și AB⊥BC ⟹ (T.3.P) A’B⊥BC ⟹ d(A’,BC) = A’B =cm. Răspuns: .

6. Un tetraedru are șase muchii. S=6∙6=36 cm. Răspuns: 36.

Subiectul II

8. a)

(vezi aici lecția video cu rezolvarea expresiilor algebrice).

b) E(-10) = -2∙(-10) = 20.

9. a) Având în vedere că la punctul b) se cere să aflăm aria triunghiului format de graficul funcției și cele două axe, vom reprezenta grafic funcția găsind punctele de intersecție ale graficului cu cele două axe Ox și Oy.

Gf ∩ Ox: y=0 ⟹ f(x) = 0 ⟹ x-4 = 0 ⟹ x = 4. A(4,0)

Gf ∩ Oy: x=0 ⟹ f(0) = 0-4 = -4. B(0,-4).

Vom construi cele două puncte A și B într-un sistem de axe xOy și le vom uni printr-o dreaptă, care va reprezenta graficul funcției.

b) Trebuie să calculăm aria triunghiului AOB. Acesta este un triunghi dreptunghic, având catetele OA și OB. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor.

OA = 4 și OB =|-4|= 4 (Atenție, lungimea segmentului OB se consideră în modul, pentru că o distanță nu poate fi negativă).

Aria triunghiului AOB este:

c) În general, un punct M(a,b) aparține graficului unei funcții f dacă f(a)=b (valoarea funcției pentru prima coordonată a punctului trebuie să fie egală cu a doua coordonată).

În consecință, condiția ca punctul M(m, 2m-7) să aparțină graficului este: f(m) = 2m-7.

f(m) = m-4

m-4 = 2m-7 ⟹ m-2m = -7+4 ⟹ –m = -3 ⟹ m = 3.

Subiectul III

10. a)

Pentru început ne propunem să aflăm latura bazei. Știm că h = AA’ = BB’ = CC’ = 10 cm, iar diagonala BC’=. Triunghiul BCC’ este dreptunghic în C și putem afla latura BC aplicând teorema lui Pitagora:

BC²+CC’² = BC’²

BC²+10²=

BC² = 116-100 = 16 ⟹ BC = 4 cm.

Am aflat astfel latura bazei l = BC = 4 cm. Baza prismei triunghiulare regulate este un triunghi echilateral, prin urmare perimetrul bazei va fi P_b = 3∙BC = 3∙4 = 12 cm.

Aria laterală a prismei este A_l = P_b∙h = 12∙10 = 120 cm².

În continuare vom calcula aria bazei, adică aria triunghiului ABC.

Aria totală a prismei va fi egală cu aria laterală, la care se adună ariile celor două baze:

A_t = A_l + 2A_b.

b) Volumul prismei regulate este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea prismei:

c) Pentru a afla distanța de la punctul A’ la latura BC, vom folosi teorema celor trei perpendiculare (găsești aici lecția video). În planul bazei, ducem AM⊥BC, iar M va fi mijlocul laturii BC, deoarece, într-un triunghi echilateral, înălțimea este și mediană.

AA’⊥(ABC) și AM⊥BC, iar AM, BC ⊂(ABC) ⟹ (T.3.P) A’M⊥BC ⟹ d(A’,BC)=A’M.

Pentru a afla lungimea segmentului A’M, vom aplica teorema lui Pitagora în triunghiul A’AM, dar mai întâi trebuie să aflăm lungimea segmentului AM. AM este înălțime în triunghiul echilateral ABC, prin urmare

Dacă nu rețineți formula înălțimii unui triunghi echilateral, aceasta se poate calcula cu teorema lui Pitagora în triunghiul AMB.

În continuare vom calcula A’M folosind Pitagora în triunghiul A’AM:

A’M² = A’A² + AM²

11. a)

Reamintim formulele pentru aria laterală, aria totală și volumul piramidei:

Baza piramidei este pătrat, așadar perimetrul bazei va fi P_b = 4∙l = 4∙10 = 40.

Apotema piramidei (ap) este înălțimea unei fețe laterale. Construim VM⊥BC, prin urmare apotema piramidei va fi VM. Triunghiul VBC este isoscel, iar VM este înălțime și mediană, așadar M este mijlocul lui BC.

Pentru a afla apotema VM, vom folosi teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM, cu OM = AB/2 = 10/2 = 5 cm.

VM² = VO² + OM² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 ⟹ ap = VM = 13 cm.

Aria bazei este aria pătratului ABCD, prin urmare A_b = l² = 10²= 100 cm²

Aria totală va fi A_t = A_l + A_b = 260 + 100 = 360 cm².

b) Calculăm volumul piramidei:

c) Planele (VAB) și (VDC) se intersectează după o dreaptă d care conține punctul V și care este paralelă cu dreptele AB și DC.

(VAB)∩(VAC) = d, d||AB||DC. Fie E mijlocul lui AB și F mijlocul lui DC.

Dacă VE⊥AB (pentru că VE este mediană, dar și înălțime în triunghiul VAB isoscel) și d||AB, atunci VE⊥d (1). Analog, dacă VF⊥DC și d ||DC, atunci VF⊥d (2). Din relațiile (1) și (2), obținem că unghiul dintre planele (VAB) și (VDC) este unghiul EVF.

∡((VAB),(VDC)) = ∡(VE,VF) = ∡EVF. Pentru a afla sinusul acestui unghi, vom scrie aria triunghiului EVF în două moduri: