Model de teză pentru clasa a VIII-a, semestrul I

Lucrare scrisă la matematică pe semestrul I
An școlar 2021-2022

Subiectul I (30 puncte). Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. (5p) Rezultatul calculului 3²-2∙5 este ….
2. (5p) Cel mai mare număr întreg din intervalul [2,5) este ….
3. (5p) Dacă suma muchiilor unui tetraedru regulat este 42 cm, atunci lungimea unei muchii este egală cu ….
4. (5p) Scrisă sub formă de interval, mulțimea A={x ∈ R | -1 < x ≤ 5} este ….
5. (5p) Valoarea numărului (3 – x)²⁰¹⁹ pentru x = 4 este egală cu ….
6. (5p) Descompunând în factori expresia x² – 25, se obține ….

Subiectul II (30 puncte). Pe foaia de teză se trec rezolvările complete.

7. (5p) a) Desenați un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’.
(5p) b) Aflați măsura unghiului dintre dreptele AA’ și BC.

8. (10p) Calculați:

9. Fie E(x) = (x+3)² – (2x-1)(2x+1) + (2x+3)² + 62.

(5p) a) Arătați că expresia E(x) poate fi scrisă ca pătratul unui număr real.

(5p) b) Calculați valoarea expresiei E(x) pentru x = -2.

Subiectul III (30 puncte). Pe foaia de teză se trec rezolvările complete.

10. Fie ABCA’B’C’ o prismă triunghiulară regulată cu AB = 6 cm și

CC'=2\sqrt3.

(5p) a) Aflați aria feței laterale BCC’B’.
(5p) b) Aflați măsura unghiului dintre BC’ și planul (ABC).
(5p) c) Dacă P este mijlocul muchiei BC, arătați că BC ⊥ (AA’P).

11. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu înălțimea

(5p) a) Aflați apotema piramidei.
(5p) b) Aflați tangenta unghiului dintre VB și AD.
(5p) c) Dacă S este mijlocul muchiei VC, arătați că VA este paralelă cu planul (BSD).

Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

Rezolvarea tezei

Subiectul I

1. 3²-2∙5 = 9-10 = -1. Răspuns: -1.
2. Răspuns: 4.
3. 42:6 = 7. Răspuns: 7 cm.
4. Răspuns: A = (-1,5].
5. (3 – 4)²⁰¹⁹ = (- 1)²⁰¹⁹ = -1. Răspuns: -1.
6. x² – 25 = (x-5)(x+5). Răspuns: (x-5)(x+5).

Subiectul II

7. a)

b) AA’||BB’ ⟹ ∡(AA’,BC) = ∡(BB’,BC) = ∡B’BC = 90°.

8.

9. a) E(x) = (x+3)² – (2x-1)(2x+1) + (2x+3)² + 62 = x²+6x+9-4x²+1+4x²+12x+9+62 = x² +18x+81 = (x+9)² .

b) E(-2) = (-2+9)² = 7² = 49.

Subiectul III

10. a)

BCC’B’ dreptunghi, A = BC∙CC’.

b) C’C ⊥ (ABC) ⟹ ∡(BC’, (ABC)) = ∡(BC’, BC) = ∡C’BC.

Triunghiul C’BC este dreptunghic în C și cunoaștem catetele, putem calcula tangenta ∡C’BC:

c) AP este mediană în triunghiul echilateral ABC, deci este și înălțime

AP ⊥ BC (1)

AA’ ⊥ (ABC) și BC este inclusă în planul (ABC) ⟹ AA’ ⊥ BC (2)

Din (1) și (2): BC ⊥ (AA’P).

11. a)

Apotema piramidei este VM, VM ⊥ BC. Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul VOM, cu

OM=\frac{AB}{2}=3\sqrt2.

b) AD||BC ⟹ ∡(VB, AD) = ∡(VB,BC) = ∡VBC = ∡VBM.

c) SO este linie mijlocie în triunghiul CVA ⟹ VA||SO și SO este inclusă în planul (BSD) ⟹ VA||(BSD).